Tempo zmian jest widoczne w nauce, a zwłaszcza w fizyce, poprzez wielkości takie jak prędkość i przyspieszenie. Pochodne opisują matematycznie szybkość zmian jednej wielkości względem innej, ale obliczając czasami mogą być skomplikowane i możesz otrzymać wykres, a nie funkcję w równaniu Formularz. Jeśli otrzymasz wykres krzywej i musisz znaleźć z niego pochodną, możesz nie być tak dokładny, jak w przypadku równania, ale możesz łatwo dokonać solidnego oszacowania.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Wybierz punkt na wykresie, aby znaleźć wartość pochodnej przy.
Narysuj linię prostą styczną do krzywej wykresu w tym punkcie.
Weź nachylenie tej linii, aby znaleźć wartość pochodnej w wybranym punkcie na wykresie.
Poza abstrakcyjnym ustawieniem różnicowania równania możesz być trochę zdezorientowany, czym naprawdę jest pochodna. W algebrze pochodną funkcji jest równanie, które określa wartość „nachylenia” funkcji w dowolnym punkcie. Innymi słowy, informuje o tym, jak bardzo zmienia się jedna wielkość, biorąc pod uwagę niewielką zmianę w drugiej. Na wykresie gradient lub nachylenie linii informuje o tym, jak bardzo zmienna zależna (umieszczona na
tak-osi) zmienia się wraz ze zmienną niezależną (nax-oś).W przypadku wykresów prostych określasz (stałe) tempo zmian, obliczając nachylenie wykresu. Zależności opisane przez krzywe nie są tak łatwe do opanowania, ale zasada, że pochodna oznacza tylko nachylenie (w tym konkretnym punkcie) nadal obowiązuje.
W przypadku relacji opisanych krzywymi pochodna przyjmuje inną wartość w każdym punkcie krzywej. Aby oszacować pochodną wykresu, musisz wybrać punkt, w którym ma być pochodna. Na przykład, jeśli masz wykres pokazujący przebytą odległość w czasie, na wykresie w linii prostej, nachylenie wskaże stałą prędkość. W przypadku prędkości zmieniających się w czasie wykres byłby krzywą, ale linią prostą, która po prostu dotyka krzywa w jednym punkcie (linia styczna do krzywej) reprezentuje tempo zmian w tym konkretnym punkt.
Wybierz miejsce, w którym musisz znać pochodną. Wykorzystanie przebytej odległości vs. przykład czasu, wybierz czas, w którym chcesz poznać prędkość jazdy. Jeśli potrzebujesz znać prędkość w kilku różnych punktach, możesz przeprowadzić ten proces dla każdego pojedynczego punktu. Jeśli chcesz poznać prędkość 15 sekund po rozpoczęciu ruchu, wybierz miejsce na krzywej w 15 sekund nax-oś.
Narysuj linię styczną do krzywej w interesującym Cię punkcie. Nie spiesz się, robiąc to, ponieważ jest to najważniejsza i najtrudniejsza część procesu. Twoje oszacowanie będzie lepsze, jeśli narysujesz dokładniejszą linię styczną. Przytrzymaj linijkę do punktu na krzywej i dostosuj jej orientację tak, aby rysowana liniatylkodotknij krzywej w jednym punkcie, który Cię interesuje.
Narysuj swoją linię tak długo, jak pozwoli na to wykres. Upewnij się, że możesz łatwo odczytać dwie wartości dla obuxitakwspółrzędne, jeden w pobliżu początku linii, a drugi w pobliżu końca. Nie musisz koniecznie rysować długiej linii (technicznie każda linia prosta jest odpowiednia), ale dłuższe linie zwykle łatwiej zmierzyć nachylenie.
Znajdź dwa miejsca na swojej linii i zanotujxitakwspółrzędne dla nich. Na przykład wyobraź sobie linię styczną jako dwa godne uwagi miejsca wx = 1, tak= 3 ix = 10, tak= 30, co możesz nazwać Punktem 1 i Punktem 2. Korzystanie z symbolix1 itak1 do reprezentowania współrzędnych pierwszego punktu ix2 itak2 reprezentować współrzędne drugiego punktu, nachyleniemijest dany przez:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
To mówi ci pochodną krzywej w punkcie, w którym linia styka się z krzywą. W przykładziex1 = 1, x2 = 10, tak1 = 3 itak2 = 30, więc:
\begin{aligned} m &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{aligned}
W przykładzie tym wynikiem byłaby prędkość w wybranym punkcie. Więc jeślix-oś została zmierzona w sekundach, atak-oś była mierzona w metrach, wynik oznaczałby, że dany pojazd poruszał się z prędkością 3 metrów na sekundę. Bez względu na konkretną wielkość, którą obliczasz, proces szacowania pochodnej jest taki sam.