Rozwiązanie tajemnic elektromagnetyzmu było jednym z największych dotychczasowych osiągnięć fizyki, a wyciągnięte wnioski są w pełni zawarte w równaniach Maxwella.
James Clerk Maxwell nadaje swoje imię tym czterem eleganckim równaniom, ale są one zwieńczeniem dziesięcioleci pracy wielu fizyków, w tym Michael Faraday, Andre-Marie Ampere i Carl Friedrich Gauss – którzy nadają swoje nazwy trzem z czterech równań – i wielu inne. Chociaż sam Maxwell dodał tylko termin do jednego z czterech równań, miał dalekowzroczność i zrozumienie, aby: zebrać najlepsze z prac, które zostały wykonane na ten temat i zaprezentować je w sposób nadal używany przez used fizycy dzisiaj.
Przez wiele, wiele lat fizycy wierzyli, że elektryczność i magnetyzm to odrębne siły i odrębne zjawiska. Ale dzięki eksperymentalnej pracy ludzi takich jak Faraday stawało się coraz bardziej jasne, że w rzeczywistości są to dwie strony to samo zjawisko, a równania Maxwella przedstawiają ten jednolity obraz, który do dziś jest tak samo aktualny jak w XIX wieku. stulecie. Jeśli zamierzasz studiować fizykę na wyższych poziomach, koniecznie musisz znać równania Maxwella i jak z nich korzystać.
Równania Maxwella
Równania Maxwella są następujące, zarówno w postaci różniczkowej, jak i całkowej. (Zauważ, że chociaż znajomość równań różniczkowych jest tutaj pomocna, zrozumienie pojęciowe jest możliwe nawet bez niej).
Prawo Gaussa dla energii elektrycznej
Forma różnicowa:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Forma integralna:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Brak prawa monopolu / prawo Gaussa dla magnetyzmu
Forma różnicowa:
\bm{∇∙B} = 0
Forma integralna:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
Prawo indukcji Faradaya
Forma różnicowa:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Forma integralna:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
Prawo Ampere'a-Maxwella / Prawo Ampere'a
Forma różnicowa:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Forma integralna:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Symbole używane w równaniach Maxwella
Równania Maxwella wykorzystują dość duży wybór symboli i ważne jest, abyś zrozumiał, co one oznaczają, jeśli masz zamiar nauczyć się je stosować. Oto lista znaczeń użytych symboli:
b= pole magnetyczne
mi= pole elektryczne
ρ= gęstość ładunku elektrycznego
ε0= przenikalność elektryczna wolnej przestrzeni = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 ZA2
q= całkowity ładunek elektryczny (suma netto ładunków dodatnich i ujemnych)
𝜙b = strumień magnetyczny
jot= gęstość prądu
ja= prąd elektryczny
do= prędkość światła = 2,998 × 108 SM
μ0 = przepuszczalność wolnej przestrzeni = 4π × 10−7 nie dotyczy2
Dodatkowo ważne jest, aby wiedzieć, że ∇ to operator del, kropka między dwiema wielkościami (X ∙ Tak) pokazuje iloczyn skalarny, pogrubiony symbol mnożenia między dwiema wielkościami jest iloczynem wektorowym (X × Tak), że operator del z kropką nazywa się „rozbieżnością” (np. ∇ ∙ X= rozbieżnośćX= dzX), a operator del z iloczynem skalarnym nazywa się curl (np. ∇× Tak= zwijanie sięTak= lokiTak). WreszcieZAw dZAoznacza pole powierzchni zamkniętej powierzchni, dla której obliczasz (czasami zapisywane jako dS) isw dsjest bardzo małą częścią granicy otwartej powierzchni, dla której obliczasz (chociaż czasami jest to dja, odnosząc się do nieskończenie małego składnika liniowego).
Wyprowadzenie równań
Pierwsze równanie równań Maxwella to prawo Gaussa, które mówi, że strumień elektryczny netto przez zamknięta powierzchnia jest równa całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz kształtu podzielonemu przez przenikalność swobodnej przestrzeń. To prawo można wyprowadzić z prawa Coulomba, po wykonaniu ważnego kroku, jakim jest wyrażenie prawa Coulomba w postaci pola elektrycznego i wpływu, jaki miałoby ono na ładunek testowy.
Drugie z równań Maxwella jest zasadniczo równoważne stwierdzeniu, że „nie ma monopoli magnetycznych”. W Stanach że netto strumień magnetyczny przez zamkniętą powierzchnię będzie zawsze wynosił 0, ponieważ pola magnetyczne są zawsze wynikiem a dipol. Prawo to można wyprowadzić z prawa Biota-Savarta, które opisuje pole magnetyczne wytwarzane przez element prądu.
Trzecie równanie – prawo indukcji Faradaya – opisuje, w jaki sposób zmieniające się pole magnetyczne wytwarza napięcie w pętli drutu lub przewodnika. Pierwotnie pochodził z eksperymentu. Jednak biorąc pod uwagę wynik, że zmieniający się strumień magnetyczny indukuje siłę elektromotoryczną (EMF lub napięcie), a tym samym prąd elektryczny w pętla drutu i fakt, że EMF jest zdefiniowana jako całka liniowa pola elektrycznego wokół obwodu, prawo jest łatwe do wprowadzenia razem.
Czwarte i ostatnie równanie, prawo Ampere'a (lub prawo Ampere-Maxwella, aby dać mu uznanie za jego wkład) opisuje, w jaki sposób pole magnetyczne jest generowane przez poruszający się ładunek lub zmieniający się elektryczność pole. Prawo jest wynikiem eksperymentu (a więc – jak wszystkie równania Maxwella – nie zostało tak naprawdę „wyprowadzone” w tradycyjnym sensie), ale przy użyciuTwierdzenie Stokesajest ważnym krokiem w uzyskaniu podstawowego wyniku w używanej dzisiaj formie.
Przykłady równań Maxwella: prawo Gaussa
Szczerze mówiąc, zwłaszcza jeśli nie jesteś zaznajomiony z rachunkiem wektorowym, równania Maxwella wyglądają dość zniechęcająco, mimo że wszystkie są stosunkowo zwarte. Najlepszym sposobem, aby naprawdę je zrozumieć, jest zapoznanie się z kilkoma przykładami ich zastosowania w praktyce, a prawo Gaussa jest najlepszym miejscem do rozpoczęcia. Prawo Gaussa jest zasadniczo bardziej podstawowym równaniem, które spełnia zadanie prawa Coulomba, i jest dość łatwo wyprowadzić z tego prawo Coulomba, biorąc pod uwagę pole elektryczne wytwarzane przez punkt opłata.
Wywołanie opłatyq, kluczowym punktem w zastosowaniu prawa Gaussa jest wybór odpowiedniej „powierzchni” do zbadania strumienia elektrycznego. W tym przypadku dobrze sprawdza się kula, która ma powierzchnięZA = 4πr2, ponieważ możesz wyśrodkować kulę na ładowaniu punktowym. Jest to ogromna korzyść w rozwiązywaniu takich problemów, ponieważ wtedy nie trzeba integrować różnych pól na całej powierzchni; pole będzie symetryczne wokół ładunku punktowego, a więc będzie stałe na powierzchni kuli. Więc forma całkowa:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Można wyrazić jako:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Zauważ, żemiponieważ pole elektryczne zostało zastąpione prostą wielkością, ponieważ pole z ładunku punktowego będzie po prostu równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach od źródła. Teraz podzielenie przez powierzchnię kuli daje:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Ponieważ siła jest związana z polem elektrycznym przez electricmi = fa/q, gdzieqto opłata testowa,fa = qE, a więc:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Gdzie indeksy dolne zostały dodane w celu odróżnienia dwóch zarzutów. Jest to prawo Coulomba wyrażone w standardowej formie, które jest prostą konsekwencją prawa Gaussa.
Przykłady równań Maxwella: Prawo Faradaya
Prawo Faradaya pozwala na obliczenie siły elektromotorycznej w pętli drutu wynikającej ze zmieniającego się pola magnetycznego. Prostym przykładem jest pętla z drutu o promieniur= 20 cm, w polu magnetycznym o narastającej odbja = 1 T dobfa = 10 T w przestrzeni ∆t= 5 s – jaka jest indukowana EMF w tym przypadku? Integralna forma prawa obejmuje strumień:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
który jest zdefiniowany jako:
ϕ = BA \cos (θ)
Kluczową częścią problemu jest tutaj znalezienie szybkości zmian strumienia, ale ponieważ problem jest dość prosty, można zastąpić pochodną cząstkową prostą „zmianą” każdej wielkości. A całka tak naprawdę oznacza tylko siłę elektromotoryczną, więc możesz przepisać prawo indukcji Faradaya jako:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Jeśli przyjmiemy, że pętla drutu ma swoją normalną zgodną z polem magnetycznym,θ= 0°, a więc cos (θ) = 1. To pozostawia:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Problem można następnie rozwiązać, znajdując różnicę między początkowym i końcowym polem magnetycznym a obszarem pętli w następujący sposób:
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0,2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0,23 \text{ V } \end{wyrównany}
To tylko małe napięcie, ale prawo Faradaya jest stosowane w ten sam sposób.
Przykłady równań Maxwella: Prawo Ampera-Maxwella
Prawo Ampere-Maxwella jest ostatnim z równań Maxwella, które musisz regularnie stosować. Równanie powraca do prawa Ampere'a przy braku zmiennego pola elektrycznego, więc jest to najłatwiejszy przykład do rozważenia. Możesz go użyć do wyprowadzenia równania pola magnetycznego wynikającego z prostego drutu przenoszącego prądja, a ten podstawowy przykład wystarczy, aby pokazać, jak używane jest równanie. Pełne prawo to:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Ale bez zmiany pola elektrycznego redukuje się do:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Teraz, podobnie jak w przypadku prawa Gaussa, jeśli wybierzesz okrąg dla powierzchni, wyśrodkowany na pętli drutu, intuicja podpowiada, że powstałe pole magnetyczne będzie symetryczny, a więc można zastąpić całkę prostym iloczynem obwodu pętli i natężenia pola magnetycznego, odejście:
B × 2πr = μ_0 I
Dzielenie przez 2πrdaje:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Jakie jest akceptowane wyrażenie dla pola magnetycznego na odległość?rwynikające z prostego drutu przewodzącego prąd.
Fale elektromagnetyczne
Kiedy Maxwell zebrał swój zestaw równań, zaczął szukać rozwiązań, które pomogą wyjaśnić różne zjawisk w realnym świecie, a wgląd w światło jest jednym z najważniejszych rezultatów, jakie on uzyskane.
Ponieważ zmieniające się pole elektryczne generuje pole magnetyczne (zgodnie z prawem Ampere'a), a zmieniające się pole magnetyczne generuje pole elektryczne (zgodnie z prawem Faradaya), Maxwell doszedł do wniosku, że samorozprzestrzeniająca się fala elektromagnetyczna może być możliwy. Użył swoich równań, aby znaleźć równanie falowe, które opisałoby taką falę i ustalił, że będzie ona podróżować z prędkością światła. To był rodzaj „eureki”; zdał sobie sprawę, że światło jest formą promieniowania elektromagnetycznego, działającego tak, jak pole, które sobie wyobrażał!
Fala elektromagnetyczna składa się z fali pola elektrycznego i fali pola magnetycznego oscylujących tam iz powrotem, ustawionych pod kątem prostym do siebie. Oscylacja części elektrycznej fali generuje pole magnetyczne, a oscylacja tej części z kolei ponownie wytwarza pole elektryczne, w miarę przemieszczania się w przestrzeni.
Jak każda inna fala, fala elektromagnetyczna ma częstotliwość i długość fali, a ich iloczyn jest zawsze równydo, prędkość światła. Fale elektromagnetyczne są wszędzie wokół nas, a oprócz światła widzialnego inne długości fal są powszechnie nazywane falami radiowymi, mikrofalami, podczerwonymi, ultrafioletowymi, promieniami rentgenowskimi i promieniami gamma. Wszystkie te formy promieniowania elektromagnetycznego mają tę samą podstawową postać, jak wyjaśniono równaniami Maxwella, ale ich energie zmieniają się wraz z częstotliwością (tj. wyższa częstotliwość oznacza wyższą energię).
Tak więc dla fizyka to Maxwell powiedział: „Niech stanie się światło!”
