W algebrze sekwencje liczb są przydatne do badania tego, co dzieje się, gdy coś staje się większe lub mniejsze. Ciąg arytmetyczny jest zdefiniowany przez wspólną różnicę, czyli różnicę między jedną liczbą a następną w ciągu. W przypadku ciągów arytmetycznych ta różnica jest wartością stałą i może być dodatnia lub ujemna. W rezultacie ciąg arytmetyczny staje się większy lub mniejszy o ustaloną wartość za każdym razem, gdy do listy, z której składa się ciąg, dodawana jest nowa liczba.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Ciąg arytmetyczny to lista liczb, w których kolejne wyrazy różnią się o stałą wartość, wspólną różnicę. Gdy wspólna różnica jest dodatnia, sekwencja stale rośnie o ustaloną wartość, a jeśli jest ujemna, sekwencja maleje. Inne popularne ciągi to ciąg geometryczny, w którym terminy różnią się wspólnym czynnikiem, oraz ciąg Fibonacciego, w którym każda liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb.
Jak działa ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny jest zdefiniowany przez numer początkowy, wspólną różnicę i liczbę wyrazów w ciągu. Na przykład ciąg arytmetyczny zaczynający się od 12, wspólna różnica 3 i pięciu wyrazów to 12, 15, 18, 21, 24. Przykładem sekwencji malejącej jest ciąg zaczynający się od liczby 3, wspólnej różnicy -2 i sześciu terminów. Ta sekwencja to 3, 1, -1, -3, -5, -7.
Sekwencje arytmetyczne mogą również mieć nieskończoną liczbę wyrazów. Na przykład pierwsza sekwencja powyżej z nieskończoną liczbą terminów to 12, 15, 18,... i ta sekwencja ciągnie się w nieskończoność.
Średnia arytmetyczna
Ciąg arytmetyczny ma odpowiadający ciąg, który dodaje wszystkie wyrazy ciągu. Po dodaniu terminów i podzieleniu sumy przez liczbę terminów wynikiem jest średnia arytmetyczna lub średnia. Wzór na średnią arytmetyczną to
\text{średnia}= \frac{ \text{suma }n \text{ wyrazów}}{n}
Szybkim sposobem obliczenia średniej ciągu arytmetycznego jest wykorzystanie obserwacji, że kiedy pierwszy i ostatni and warunki są dodawane, suma jest taka sama, jak w przypadku dodania drugiego i przedostatniego terminu lub trzeciego i trzeciego od końca warunki. W rezultacie suma ciągu jest sumą pierwszego i ostatniego wyrazu razy połowę liczby wyrazów. Aby otrzymać średnią, sumę dzieli się przez liczbę wyrazów, więc średnia ciągu arytmetycznego jest równa połowie sumy pierwszego i ostatniego wyrazu. Dlaniewarunkiza1 dozanie, odpowiedni wzór na średnią m to
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Nieskończone ciągi arytmetyczne nie mają ostatniego wyrazu, dlatego ich średnia jest nieokreślona. Zamiast tego średnią sumę częściową można znaleźć, ograniczając sumę do określonej liczby terminów. W takim przypadku sumę częściową i jej średnią można znaleźć w taki sam sposób, jak dla ciągu nieskończonego.
Inne rodzaje sekwencji
Sekwencje liczb często opierają się na obserwacjach z eksperymentów lub pomiarów zjawisk naturalnych. Takie ciągi mogą być liczbami losowymi, ale często ciągi okazują się być arytmetycznymi lub innymi uporządkowanymi listami liczb.
Na przykład ciągi geometryczne różnią się od ciągów arytmetycznych, ponieważ mają wspólny czynnik, a nie wspólną różnicę. Zamiast dodawania lub odejmowania liczby dla każdego nowego terminu, liczba jest mnożona lub dzielona za każdym razem, gdy dodawany jest nowy termin. Sekwencja 10, 12, 14,... jako ciąg arytmetyczny ze wspólną różnicą 2 staje się 10, 20, 40,... jako ciąg geometryczny o wspólnym współczynniku 2.
Inne sekwencje rządzą się zupełnie innymi zasadami. Na przykład terminy ciągu Fibonacciego są tworzone przez dodanie dwóch poprzednich liczb. Jego kolejność to 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Terminy należy dodać pojedynczo, aby uzyskać sumę częściową, ponieważ szybka metoda dodawania pierwszego i ostatniego terminu nie działa dla tej sekwencji.
Sekwencje arytmetyczne są proste, ale mają zastosowanie w życiu codziennym. Jeżeli punkt początkowy jest znany i można znaleźć wspólną różnicę, można obliczyć wartość szeregu w określonym punkcie w przyszłości, a także wyznaczyć wartość średnią.
