Całkowanie funkcji jest jednym z podstawowych zastosowań rachunku różniczkowego. Czasami jest to proste, jak w:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
W stosunkowo skomplikowanym przykładzie tego typu można posłużyć się wersją podstawowego wzoru na całkowanie całek nieoznaczonych:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
gdzieZAidosą stałymi.
Tak więc w tym przykładzie
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Integracja podstawowych funkcji pierwiastka kwadratowego
Na pierwszy rzut oka całkowanie funkcji pierwiastka kwadratowego jest niewygodne. Na przykład możesz być utrudniony przez:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Ale pierwiastek kwadratowy możesz wyrazić jako wykładnik, 1/2:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Całka staje się zatem:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
do którego możesz zastosować zwykłą formułę z góry:
\begin{aligned} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{aligned}
Integracja bardziej złożonych funkcji pierwiastka kwadratowego
Czasami pod znakiem radykalnym może znajdować się więcej niż jeden termin, jak w tym przykładzie:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Możesz użyćty-zastąpienie, aby kontynuować. Tutaj ustawiasztyrówna ilości w mianowniku:
u = \sqrt{x - 3}
Rozwiąż to zaxprzez podniesienie obu stron do kwadratu i odjęcie:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Pozwala to uzyskać dx pod względemtybiorąc pochodną zx:
dx = (2u) du
Zastąpienie z powrotem do pierwotnej całki daje
\begin{wyrównane} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{wyrównany}
Teraz możesz to zintegrować za pomocą podstawowej formuły i wyrażeniatypod względemx:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{wyrównany}