Podobne trójkąty mają ten sam kształt, ale niekoniecznie ten sam rozmiar. Kiedy trójkąty są podobne, mają wiele takich samych właściwości i cech. Twierdzenia o podobieństwie trójkątów określają warunki, w jakich dwa trójkąty są podobne i dotyczą boków i kątów każdego trójkąta. Gdy konkretna kombinacja kątów i boków spełnia twierdzenia, można uznać, że trójkąty są podobne.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Istnieją trzy twierdzenia o podobieństwie trójkątów, które określają, w jakich warunkach trójkąty są podobne:
- Jeśli dwa kąty są takie same, trzeci kąt jest taki sam i trójkąty są podobne.
- Jeśli trzy boki są w tych samych proporcjach, trójkąty są podobne.
- Jeśli dwa boki są w tych samych proporcjach, a kąt rozwarcia jest taki sam, trójkąty są podobne.
Twierdzenia AA, AAA i kąta kąta
Jeśli dwa z kątów dwóch trójkątów są takie same, trójkąty są podobne. Wynika to jasno z obserwacji, że trzy kąty trójkąta muszą się sumować do 180 stopni. Jeśli znane są dwa kąty, trzeci można znaleźć, odejmując dwa znane kąty od 180. Jeśli trzy kąty dwóch trójkątów są takie same, trójkąty mają ten sam kształt i są podobne.
Twierdzenie SSS lub Side-Side-Side
Jeśli wszystkie trzy boki dwóch trójkątów są takie same, trójkąty są nie tylko podobne, ale także przystające lub identyczne. W przypadku podobnych trójkątów trzy boki dwóch trójkątów muszą być tylko proporcjonalne. Na przykład, jeśli jeden trójkąt ma boki 3, 5 i 6 cali, a drugi trójkąt ma boki 9, 15 i 18 cale, każdy z boków większego trójkąta jest trzykrotnie dłuższy od jednego z boków mniejszego trójkąt. Boki są do siebie proporcjonalne, a trójkąty podobne.
SAS lub twierdzenie o kącie bocznym
Dwa trójkąty są podobne, jeśli dwa boki dwóch trójkątów są proporcjonalne, a kąt zawarty między bokami jest taki sam. Na przykład, jeśli dwa boki trójkąta mają 2 i 3 cale, a boki innego trójkąta mają 4 i 6 cali, boki są proporcjonalne, ale trójkąty mogą nie być podobne, ponieważ dwie trzecie boki mogą być dowolne długość. Jeśli kąt zawarty jest taki sam, wszystkie trzy boki trójkątów są proporcjonalne, a trójkąty są podobne.
Inne możliwe kombinacje kątowe
Jeśli jedno z trzech twierdzeń o podobieństwie trójkątów jest spełnione dla dwóch trójkątów, trójkąty są podobne. Ale istnieją inne możliwe kombinacje kątów bocznych, które mogą gwarantować podobieństwo lub nie.
W przypadku konfiguracji znanych jako kąt-kąt-bok (AAS), kąt-kąt-bok (ASA) lub kąt-kąt-bok (SAA) nie ma znaczenia, jak duże są boki; trójkąty zawsze będą podobne. Te konfiguracje sprowadzają się do twierdzenia kąt-kąt AA, co oznacza, że wszystkie trzy kąty są takie same, a trójkąty są podobne.
Jednak konfiguracje boczno-boczne lub kątowo-boczne nie zapewniają podobieństwa. (Nie myl kąta bocznego z bocznym; „boki” i „kąty” w każdej nazwie odnoszą się do kolejności, w jakiej napotykasz boki i kąty). W niektórych przypadkach, na przykład w przypadku trójkątów prostokątnych, jeśli dwa boki są proporcjonalne, a kąty nieuwzględnione są takie same, trójkąty są podobny. We wszystkich innych przypadkach trójkąty mogą być podobne lub nie.
Podobne trójkąty pasują do siebie, mogą mieć równoległe boki i skalować od jednego do drugiego. Ustalenie, czy dwa trójkąty są podobne za pomocą twierdzeń o podobieństwie trójkątów, jest ważne, gdy takie cechy są stosowane do rozwiązywania problemów geometrycznych.