Wielokąt to dowolna zamknięta dwuwymiarowa figura z 3 lub więcej prostymi (nie zakrzywionymi) bokami, a wielokąt o 12 bokach jest znany jako dwunastokąt. Regularny dwunastokąt to taki, który ma równe boki i kąty, i można wyprowadzić wzór na obliczenie jego powierzchni. Nieregularny dwunastokąt ma boki o różnej długości i pod różnymi kątami. Przykładem jest sześcioramienna gwiazda. Nie ma łatwego sposobu na obliczenie powierzchni nieregularnej figury 12-bocznej, chyba że narysujesz ją na wykresie i możesz odczytać współrzędne każdego z wierzchołków. Jeśli nie, najlepszą strategią jest podzielenie figury na regularne kształty, dla których można obliczyć powierzchnię.
Obliczanie powierzchni regularnego wieloboku 12-stronnego
Aby obliczyć powierzchnię regularnego dwunastokąta, musisz znaleźć jego środek, a najlepszym sposobem na to jest narysowanie wokół niego okręgu, który dotyka każdego z jego wierzchołków. Środek okręgu to środek dwunastokąta, a odległość od środka figury do każdego z jej wierzchołków to po prostu promień okręgu (
r). Każdy z 12 boków figury ma taką samą długość, więc oznacz to przezs.Potrzebujesz jeszcze jednego pomiaru, a jest to długość prostopadłej linii narysowanej od środka każdego boku do środka 12-bocznego kształtu. Ta linia jest znana jako apotem. Oznacz jego długość przezmi. Dzieli każdą sekcję utworzoną przez linie promienia na dwa trójkąty prostokątne. Nie wieszmi, ale możesz go znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
12 linii promienia dzieli okrąg, który narysowałeś wokół dwunastokąta na 12 równych odcinków, więc w środku figury kąt, jaki każda linia tworzy z tą obok, wynosi 30 stopni. Każda z 12 sekcji utworzonych przez linie promienia składa się z pary trójkątów prostokątnych z przeciwprostokątnąri jeden kąt 15 stopni. Bok przylegający do kąta tomi, więc możesz go znaleźć za pomocą r i sinusa kąta.
\sin (15) = \frac{m}{r} \, \text{ i oblicz }m \\ m = r × \sin (15)
Możesz teraz znaleźć pole każdego z trójkątów równoramiennych wpisanych w dwunastokąt, ponieważ znasz długość podstawy – czylis– i wzrost,mi. Obszar każdego trójkąta to
\begin{wyrównany} \text{powierzchnia} &= \frac{1}{2} × \text{ podstawa} × \text{ wysokość} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (s × r × \sin (15)) \end{aligned}
Jest 12 takich sekcji, więc pomnóż przez 12, aby znaleźć łączną powierzchnię regularnego 12-bocznego kształtu:
\text{ Pole dwunastokąta foremnego} = 6 × (s × r × \sin (15))
Znalezienie obszaru nieregularnego dwunastokąta
Nie ma wzoru na znalezienie obszaru nieregularnego dwunastokąta, ponieważ długości boków i kąty nie są takie same. Trudno nawet wskazać środek. Najlepszą strategią jest podzielenie figury na regularne kształty, obliczenie powierzchni każdego z nich i dodanie ich.
Jeśli kształt jest wykreślony na wykresie i znasz współrzędne wierzchołków, istnieje formuła, której możesz użyć do obliczenia powierzchni. Jeśli każdy punkt (nie) jest zdefiniowany przez (xnie, taknie) i okrążasz figurę w kolejności, zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, aby uzyskać serię 12 punktów, obszar to:
\text{Obszar} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}