Rodnik lub pierwiastek jest matematycznym przeciwieństwem wykładnika, w tym samym sensie, w jakim dodawanie jest przeciwieństwem odejmowania. Najmniejszy pierwiastek to pierwiastek kwadratowy, reprezentowany przez symbol √. Kolejny pierwiastek to pierwiastek sześcienny, reprezentowany przez symbol ³√. Mała liczba przed rodnikiem to jego numer indeksowy. Numer indeksu może być dowolną liczbą całkowitą i reprezentuje również wykładnik, którego można użyć do usunięcia tego radykalnego. Na przykład podniesienie do potęgi 3 zlikwiduje pierwiastek sześcienny.
Ogólne zasady dla każdego radykała
Wynik radykalnej operacji jest dodatni, jeśli liczba pod rodnikiem jest dodatnia. Wynik jest ujemny, jeśli liczba pod rodnikiem jest ujemna, a liczba indeksu jest nieparzysta. Liczba ujemna pod rodnikiem z parzystą liczbą indeksową daje liczbę niewymierną. Pamiętaj, że chociaż nie jest to pokazane, numer indeksu pierwiastka kwadratowego to 2.
Zasady dotyczące produktów i ilorazów
Aby pomnożyć lub podzielić dwa rodniki, rodniki muszą mieć ten sam numer indeksu. Zasada iloczynu dyktuje, że mnożenie dwóch pierwiastków po prostu mnoży wartości wewnątrz i umieszcza odpowiedź w obrębie tego samego typu pierwiastka, upraszczając, jeśli to możliwe. Na przykład,
\sqrt[3]{2}× \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}
które można uprościć do 2. Ta zasada może również działać w odwrotny sposób, dzieląc większy rodnik na dwie mniejsze wielokrotności rodników.
Zasada ilorazu mówi, że podział jednego pierwiastka przez drugiego jest tym samym, co dzielenie liczb i umieszczanie ich pod tym samym symbolem radykalnym. Na przykład,
\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}
Podobnie jak reguła iloczynu, możesz również odwrócić regułę ilorazu, aby podzielić ułamek pod rodnikiem na dwa indywidualne rodniki.
Wskazówki
Oto ważna wskazówka dotycząca uproszczenia pierwiastków kwadratowych i innych pierwiastków parzystych: Gdy liczba indeksu jest parzysta, liczby wewnątrz pierwiastków nie mogą być ujemne. W żadnej sytuacji mianownik ułamka nie może być równy 0.
Upraszczanie pierwiastków kwadratowych i innych radykałów
Niektóre pierwiastki rozwiązują się łatwo, gdy liczba w środku rozwiązuje się do liczby całkowitej, na przykład √16 = 4. Ale większość nie uprości się tak czysto. Reguła produktu może być używana w odwrotnej kolejności, aby uprościć trudniejsze rodniki. Na przykład √27 równa się również √9 × √3. Ponieważ √9 = 3, problem ten można uprościć do 3√3. Można to zrobić nawet wtedy, gdy zmienna jest pod radykałem, chociaż zmienna musi pozostać pod radykałem.
Ułamki wymierne można rozwiązać podobnie stosując zasadę ilorazu. Na przykład,
\sqrt{\frac{5}{49}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49}}
Ponieważ √49 = 7, ułamek można uprościć do √5 ÷ 7.
Wykładniki, radykały i uproszczenie pierwiastków kwadratowych
Rodniki można eliminować z równań za pomocą wykładniczej wersji numeru indeksu. Na przykład w równaniu √x= 4, radykał jest usuwany przez podniesienie obu stron do drugiej potęgi:
(\sqrt{x})^2 = (4)^2\text{ lub } x = 16
Odwrotny wykładnik liczby indeksu jest odpowiednikiem samego rodnika. Na przykład √9 to to samo co 91/2. Wpisanie rodnika w ten sposób może być przydatne podczas pracy z równaniem, które ma dużą liczbę wykładników.