Większość ludzi pamiętaTwierdzenie Pitagorasaod geometrii dla początkujących — to klasyka. Jego
a^2 + b^2 = c^2
gdzieza, bidosą bokami trójkąta prostokątnego (dojest przeciwprostokątna). Cóż, to twierdzenie można również przepisać na potrzeby trygonometrii!
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Tożsamości pitagorejskie to równania, które zapisują twierdzenie Pitagorasa w kategoriach funkcji trygonometrycznych.
GłównyTożsamości pitagorejskiesą:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Tożsamości pitagorejskie są przykładamitożsamości trygonometryczne: równości (równania) wykorzystujące funkcje trygonometryczne.
Dlaczego to ma znaczenie?
Tożsamości pitagorejskie mogą być bardzo przydatne do upraszczania skomplikowanych instrukcji trygonometrycznych i równań. Zapamiętaj je teraz, a oszczędzisz sobie wiele czasu!
Dowód przy użyciu definicji funkcji trygonometrycznych
Te tożsamości są dość proste do udowodnienia, jeśli pomyślisz o definicjach funkcji trygonometrycznych. Na przykład udowodnijmy, że
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Pamiętaj, że definicja sinusa to przeciwna strona/przeciwprostokątna, a cosinus to sąsiednia strona/przeciwprostokątna.
Więc
\sin^2 = \frac{\text{przeciwko}^2} {\text{przeciwprostokątna}^2}
I
\cos^2 = \frac{\text{sąsiadujące}^2} {\text{hipoprostokątna}^2}
Możesz łatwo dodać te dwa razem, ponieważ mianowniki są takie same.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{przeciwproste}^2 + \text{sąsiadujące}^2} {\text{hipoprostokątna}^2}
Teraz spójrz ponownie na twierdzenie Pitagorasa. Tu jest napisaneza2 + b2 = do2. Weź pod uwagę, żezaiboznaczają przeciwne i sąsiednie boki orazdooznacza przeciwprostokątną.
Możesz zmienić równanie, dzieląc obie strony przezdo2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Odza2 ib2 są przeciwne i sąsiednie boki ido2 jest przeciwprostokątną, masz równoważne zdanie do powyższego, z (naprzeciwko2 + sąsiednie2) / przeciwprostokątna2. A dzięki pracy zza, b, doi twierdzenie Pitagorasa, teraz możesz zobaczyć, że to stwierdzenie jest równe 1!
Więc
\frac{ \text{przeciwprostokątna}^2 + \text{sąsiadująca}^2} {\text{hipoprostokątna}^2} = 1
i dlatego:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(I lepiej napisać to poprawnie: grzech2(θ) + cos2(θ) = 1).
Wzajemne tożsamości
Poświęćmy kilka minut na przyjrzenie sięwzajemne tożsamościtakże. Pamiętaj, żeodwrotnośćto jedna podzielona przez („ponad”) twoją liczbę – znana również jako odwrotność.
Ponieważ cosecans jest odwrotnością sinusa:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Możesz również pomyśleć o cosecans, korzystając z definicji sinusa. Na przykład sinus = przeciwna strona / przeciwprostokątna. Odwrotnością tego będzie ułamek odwrócony do góry nogami, czyli przeciwprostokątna / przeciwna strona.
Podobnie, odwrotność cosinusa to sieczna, więc jest zdefiniowana jako
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ lub } \frac{\text{hipoprostokąt}}{\text{strona przyległa}}
A odwrotność tangensa to cotangens, więc
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{strona przyległa}}{\text{strona przeciwna}}
Dowody tożsamości pitagorejskiej przy użyciu secans i cosecans są bardzo podobne do dowodów dla sinusa i cosinusa. Możesz również wyprowadzić równania za pomocą równania „rodzica”, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Podziel obie strony według cos2(θ) aby uzyskać tożsamość 1 + tan2(θ) = s2(θ). Podziel obie strony przez grzech2(θ) aby uzyskać tożsamość 1 + łóżeczko2(θ) = csc2(θ).
Powodzenia i pamiętaj, aby zapamiętać trzy pitagorejskie tożsamości!