Podobnie jak w algebrze, kiedy zaczniesz uczyć się trygonometrii, będziesz gromadzić zestawy wzorów przydatnych do rozwiązywania problemów. Jednym z takich zestawów są tożsamości półkątowe, które można wykorzystać do dwóch celów. Jednym z nich jest przekształcenie funkcji trygonometrycznych (θ/2) na funkcje w kategoriach bardziej znanych (i łatwiej nimi manipulować)θ. Drugim jest znalezienie rzeczywistej wartości funkcji trygonometrycznychθ, gdyθmożna wyrazić jako połowę bardziej znanego kąta.
Przeglądanie tożsamości półkąta
Wiele podręczników do matematyki wymienia cztery podstawowe tożsamości półkąta. Ale stosując mieszankę algebry i trygonometrii, równania te można przekształcić w wiele przydatnych form. Niekoniecznie musisz zapamiętywać je wszystkie (chyba że nauczyciel nalega), ale powinieneś przynajmniej zrozumieć, jak z nich korzystać:
Tożsamość półkąta dla sinusa
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Tożsamość półkąta dla cosinusa
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Tożsamości półkąta dla stycznej
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cot
Tożsamości półkąta dla Cotangens
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cot
Przykład użycia tożsamości półkąta
Jak więc używać tożsamości półkąta? Pierwszym krokiem jest rozpoznanie, że masz do czynienia z kątem, który jest o połowę bardziej znany.
- Kwadrant I: wszystkie funkcje wyzwalania
- Kwadrant II: tylko sinus i cosecans
- Kwadrant III: tylko styczna i cotangens
- Kwadrant IV: tylko cosinus i sieczna
wyobraź sobie, że jesteś proszony o znalezienie sinusa kąta 15 stopni. Nie jest to jeden z kątów, dla których większość uczniów zapamięta wartości funkcji trygonometrycznych. Ale jeśli pozwolisz, aby 15 stopni było równe θ/2, a następnie obliczysz θ, zobaczysz, że:
\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30
Ponieważ wynikowy θ, 30 stopni, jest bardziej znanym kątem, pomocne będzie tutaj użycie wzoru na pół kąta.
Ponieważ zostałeś poproszony o znalezienie sinusa, tak naprawdę jest tylko jedna formuła półkąta do wyboru:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Zastępując wθ/2 = 15 stopni iθ= 30 stopni daje:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Gdybyś został poproszony o znalezienie stycznej lub cotangensa, z których obie w połowie mnożą sposoby wyrażania ich tożsamości w połowie kąta, po prostu wybrałbyś wersję, która wydawała się najłatwiejsza do pracy.
Znak ± na początku niektórych tożsamości półkąta oznacza, że dany pierwiastek może być dodatni lub ujemny. Możesz rozwiązać tę niejednoznaczność, wykorzystując swoją wiedzę na temat funkcji trygonometrycznych w kwadrantach. Oto krótkie podsumowanie, które funkcje trig zwracająpozytywnywartości, w których kwadranty:
Ponieważ w tym przypadku twój kąt θ reprezentuje 30 stopni, który przypada w kwadrancie I, wiesz, że zwracana przez niego wartość sinus będzie dodatnia. Możesz więc upuścić znak ± i po prostu ocenić:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Zastąp znaną, znaną wartością cos (30). W takim przypadku użyj dokładnych wartości (w przeciwieństwie do przybliżeń dziesiętnych z wykresu):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Następnie uprość prawą stronę równania, aby znaleźć wartość grzechu (15). Zacznij od pomnożenia wyrażenia pod radykałem przez 2/2, co daje:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Upraszcza to do:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Następnie możesz wyliczyć pierwiastek kwadratowy z 4:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
W większości przypadków jest to tak dalece, jak można by uprościć. Chociaż wynik może nie być strasznie ładny, przełożyłeś sinus nieznanego kąta na dokładną wartość.