Jak stwierdzić, że liczba jest racjonalna?

Liczba wymierna to, jak sama nazwa wskazuje, dowolna liczba, którą można wyrazić jako stosunek lub ułamek. Liczba 6 jest liczbą wymierną, ponieważ można ją wyrazić jako 6/1, choć byłoby to niezwykłe. 4.5 jest liczbą wymierną, ponieważ można ją przedstawić jako 9/2.

Wiele ważnych liczb w matematyce jest jednak irracjonalnych i nie można ich zapisać jako ilorazów. Należą do nich pi, czyli π, które jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy i wynosi 3,141592654...; a pierwiastek kwadratowy z 5, równy 2.236067977... Końcowe kropki wskazują nieskończoną, niepowtarzającą się serię cyfr na prawo od przecinka dziesiętnego.

Istnieje wiele metod określania, czy liczba jest racjonalna.

Każda liczba, którą można zapisać jako ułamek lub stosunek, jest liczbą wymierną. Iloczyn dowolnych dwóch liczb wymiernych jest zatem liczbą wymierną, ponieważ ona również może być wyrażona jako ułamek. Na przykład 5/7 i 13/120 są liczbami wymiernymi, a ich iloczyn 65/840 jest również liczbą wymierną. (65/140 zmniejsza się do 13/28, ale nie jest to istotne dla obecnych celów.)

Jest to mniej trywialne, niż mogłoby się wydawać, bo łatwo zapomnieć, że liczby całkowite (...) -3, -2, -1, 0, 1, 2 itd.) można zapisać jako ułamki o mianowniku równym 1, np. -3/1, -2/1 itd.

Co ważne, niektóre liczby zawierające nieskończoną sekwencję liczb po prawej stronie znaku dziesiętnego są wymierne; kluczem jest to, że musi zawierać powtarzającą się sekwencję. Na przykład

Powtarzający się segment jest często oznaczany przez pasek nad powtarzającym się fragmentem:

Większość liczb wyrażonych jako pierwiastki kwadratowe to liczby niewymierne. Wyjątkiem są tak zwane kwadraty doskonałe, które są kwadratami liczb całkowitych (0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 itd.).