Odłamy radykalne nie są małymi, buntowniczymi odłamami, które spędzają czas do późna, pijąc i paląc trawę. Zamiast tego są to ułamki zawierające pierwiastki — zwykle pierwiastki kwadratowe, gdy po raz pierwszy zapoznasz się z pojęcie, ale później możesz również napotkać pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte i tym podobne, z których wszystkie są nazywane radykałów też. W zależności od tego, o co prosi cię twój nauczyciel, istnieją dwa sposoby uproszczenia ułamków radykalnych: albo uwzględnij ułamki radykalne całkowicie uprościć lub „zracjonalizować” ułamek, co oznacza, że eliminujesz rodnik z mianownika, ale nadal możesz mieć rodnik w mianowniku licznik ułamka.
Anulowanie radykalnych wyrażeń z ułamka
Rozważ swoją pierwszą opcję, wyodrębniając radykał z frakcji. Właściwie można to zrobić na dwa sposoby. Jeśli ten sam radykał istnieje w wszystkie warunki zarówno na górze, jak i na dole ułamka, możesz po prostu wyłączyć i anulować radykalne wyrażenie. Na przykład, jeśli masz:
(2√3) / (3√3_)_
Możesz wykluczyć oba rodniki, ponieważ są one obecne w każdym wyrazie w liczniku i mianowniku. To pozostawia ci:
√3/√3 × 2/3
A ponieważ każdy ułamek z dokładnie takimi samymi wartościami niezerowymi w liczniku i mianowniku jest równy jeden, możesz przepisać to jako:
1 × 2/3
Lub po prostu 2/3.
Uproszczenie radykalnego wyrażenia
Czasami spotkasz się z radykalnym wyrażeniem, które nie ma zwięzłej odpowiedzi, jak √3 z poprzedniego przykładu. W takim przypadku zwykle zachowujesz radykalny termin tak, jak jest, używając podstawowych operacji, takich jak faktoring lub anulowanie, aby go usunąć lub wyizolować. Ale czasami jest oczywista odpowiedź. Rozważ następujący ułamek:
(√4)/(√9)
W tym przypadku, jeśli znasz swoje pierwiastki kwadratowe, możesz zobaczyć, że oba pierwiastki faktycznie reprezentują znane liczby całkowite. Pierwiastek kwadratowy z 4 to 2, a pierwiastek kwadratowy z 9 to 3. Więc jeśli widzisz znajome pierwiastki kwadratowe, możesz po prostu przepisać ułamek z nimi w ich uproszczonej postaci liczb całkowitych. W takim przypadku masz:
2/3
Działa to również z korzeniami sześciennymi i innymi rodnikami. Na przykład korzeń kostki 8 to 2, a korzeń kostki 125 to 5. Więc jeśli napotkałeś:
(3√8) / (3√125)
Przy odrobinie praktyki będziesz w stanie od razu zauważyć, że upraszcza to do znacznie prostszego i łatwiejszego w obsłudze:
2/5
Racjonalizacja mianownika
Często nauczyciele pozwolą ci zachować radykalne wyrażenia w liczniku twojej frakcji; ale, podobnie jak liczba zero, rodniki powodują problemy, gdy pojawiają się w mianowniku lub dolnej liczbie ułamka. Tak więc ostatnim sposobem, w jaki możesz zostać poproszony o uproszczenie ułamków pierwiastkowych, jest operacja zwana ich racjonalizacją, która oznacza po prostu usunięcie pierwiastka z mianownika. Często oznacza to, że zamiast tego w liczniku pojawia się radykalne wyrażenie.
Rozważ ułamek
4/_√_5
Nie możesz łatwo uprościć _√_5 do liczby całkowitej, a nawet jeśli ją rozliczysz, nadal pozostanie ułamek, który ma pierwiastek w mianowniku, w następujący sposób:
1/_√_5 × 4/1
Więc żadna z omówionych już metod nie zadziała. Ale jeśli pamiętasz właściwości ułamków, ułamek z dowolną liczbą niezerową na górze i na dole równa się 1. Możesz więc napisać:
√_5/√_5 = 1
A ponieważ możesz pomnożyć 1 razy cokolwiek innego bez zmiany wartości tej innej rzeczy, możesz również napisać co następuje bez faktycznej zmiany wartości ułamka:
√_5/√5 × 4/√_5
Kiedy pomnożysz, dzieje się coś wyjątkowego. Licznik staje się 4_√_5, co jest do przyjęcia, ponieważ twoim celem było po prostu usunięcie radykału z mianownika. Jeśli pojawi się w liczniku, możesz sobie z tym poradzić.
Tymczasem mianownik staje się √_5 × √5 lub (√_5)2. A ponieważ pierwiastek kwadratowy i kwadrat znoszą się nawzajem, upraszcza się to do 5. Więc twoja frakcja to teraz:
4_√_5/5, który jest uważany za ułamek wymierny, ponieważ w mianowniku nie ma radykalnej.
