Jak znaleźć okres funkcji

Kiedy tworzysz wykres funkcji trygonometrycznych, odkrywasz, że są one okresowe; to znaczy, dają wyniki, które powtarzają się w przewidywalny sposób. Aby znaleźć okres danej funkcji, potrzebujesz pewnej znajomości każdej z nich i tego, jak zmiany w ich użyciu wpływają na okres. Gdy rozpoznasz, jak działają, możesz rozróżnić funkcje trygonometryczne i bez problemu znaleźć okres.

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Okres funkcji sinus i cosinus wynosi 2π (pi) radianów lub 360 stopni. Dla funkcji stycznej okres wynosi π radianów lub 180 stopni.

Kiedy wykreślasz je na wykresie, funkcje trygonometryczne generują regularnie powtarzające się kształty fal. Jak każda fala, kształty mają rozpoznawalne cechy, takie jak szczyty (wysokie punkty) i doliny (niskie punkty). Okres określa kątową „odległość” jednego pełnego cyklu fali, zwykle mierzoną między dwoma sąsiednimi szczytami lub dolinami. Z tego powodu w matematyce mierzysz okres funkcji w jednostkach kąta. Na przykład, zaczynając od kąta zero, funkcja sinus tworzy gładką krzywą, która wzrasta do maksimum 1 przy π/2 radiany (90 stopni), przecina zero przy π radianach (180 stopni), zmniejsza się do minimum -1 przy 3π / 2 radianach (270 stopni) i ponownie osiąga zero przy 2π radianach (360 stopnie). Po tym punkcie cykl powtarza się w nieskończoność, wytwarzając te same cechy i wartości, gdy kąt rośnie w kierunku dodatnim

Funkcje sinus i cosinus mają okres 2π radianów. Funkcja cosinusa jest bardzo podobna do sinusa, z wyjątkiem tego, że jest „przed” sinusem o π/2 radiany. Funkcja sinus przyjmuje wartość zero przy zero stopniach, gdzie jako cosinus wynosi 1 w tym samym punkcie.

Funkcję tangensa otrzymujesz dzieląc sinus przez cosinus. Jej okres to radiany π lub 180 stopni. Wykres stycznej (x) wynosi zero pod kątem zero, zakrzywia się w górę, osiąga 1 przy π/4 radianach (45 stopni), a następnie zakrzywia się ponownie w górę, gdzie osiąga punkt dzielenia przez zero przy π/2 radianach. Funkcja następnie staje się ujemną nieskończonością i tworzy odbicie lustrzane poniżej tak osi, osiągając -1 przy 3π / 4 radianach i przecina tak oś w radianach π. Chociaż ma x wartości, przy których staje się niezdefiniowana, funkcja styczna nadal ma definiowalny okres.

Trzy inne funkcje trygonometryczne, cosecans, secans i cotangens, są odwrotnościami odpowiednio sinusa, cosinusa i tangensa. Innymi słowy, cosecans (x) to 1 / grzech(x), sieczna (x) = 1 / cos(x) i łóżeczko(x) = 1 / tan(x). Chociaż ich wykresy mają nieokreślone punkty, okresy dla każdej z tych funkcji są takie same jak dla sinusa, cosinusa i tangensa.

Mnożąc x w funkcji trygonometrycznej o stałą można skrócić lub wydłużyć jej okres. Na przykład dla funkcji sin (2_x_) okres wynosi połowę normalnej wartości, ponieważ argument x jest podwojony. Osiąga swoje pierwsze maksimum przy π/4 radianach zamiast π/2 i kończy pełny cykl w π radianach. Inne czynniki, które często występują w funkcjach trygonometrycznych, obejmują zmiany fazy i amplitudy, gdzie faza opisuje zmianę punktem początkowym na wykresie, a amplituda jest wartością maksymalną lub minimalną funkcji, ignorując znak minus na minimum. Na przykład wyrażenie 4 × sin (2_x_ + π) osiąga maksimum 4 ze względu na mnożnik 4 i zaczyna się od zakrzywienia w dół zamiast w górę ze względu na stałą π dodaną do okresu. Zauważ, że ani 4, ani stałe π nie wpływają na okres funkcji, a jedynie na jej punkt początkowy oraz wartości maksymalne i minimalne.