Linia styczna do krzywej styka się z krzywą tylko w jednym punkcie, a jej nachylenie jest równe nachyleniu krzywej w tym punkcie. Możesz oszacować linię styczną za pomocą metody zgadnij i sprawdź, ale najprostszym sposobem jej znalezienia jest rachunek różniczkowy. Pochodna funkcji daje jej nachylenie w dowolnym punkcie, więc biorąc pochodną funkcji, która opisuje twoją krzywą, możesz znaleźć nachylenie linii stycznej, a następnie znaleźć drugą stałą, aby uzyskać swoją odpowiedź.
Zapisz funkcję dla krzywej, której styczną chcesz znaleźć. Określ, w którym punkcie chcesz wziąć linię styczną (np. x = 1).
Weź pochodną funkcji, korzystając z reguł pochodnych. Jest tu zbyt wiele, by je podsumować; możesz znaleźć listę reguł wyprowadzania w sekcji Zasoby, jednak w przypadku, gdy potrzebujesz odświeżenia:
Przykład: Jeśli funkcją jest f (x) = 6x^3 + 10x^2 - 2x + 12, pochodna wyglądałaby następująco:
f'(x) = 18x^2 + 20x - 2
Zauważ, że reprezentujemy pochodną pierwotnej funkcji przez dodanie znaku ' tak, że f'(x) jest pochodną f(x).
Wstaw wartość x, dla której potrzebujesz linii stycznej, do f'(x) i oblicz, jaka będzie f'(x) w tym punkcie.
Przykład: Jeśli f'(x) wynosi 18x^2 + 20x - 2 i potrzebujesz pochodnej w punkcie, w którym x = 0, to wstawiasz 0 do tego równania zamiast x, aby otrzymać:
f'(0) = 18 (0)^2 + 20(0) - 2
więc f'(0) = -2.
Napisz równanie postaci y = mx + b. To będzie twoja linia styczna. m jest nachyleniem Twojej linii stycznej i jest równe wynikowi z kroku 3. Nie znasz jeszcze b i będziesz musiał to rozwiązać. Kontynuując przykład, twoje początkowe równanie oparte na kroku 3 to y = -2x + b.
Podłącz wartość x, której użyłeś do znalezienia nachylenia linii stycznej z powrotem do pierwotnego równania, f (x). W ten sposób możesz określić wartość y swojego oryginalnego równania w tym momencie, a następnie użyć jej do rozwiązania b w równaniu linii stycznej.
Przykład: Jeśli x wynosi 0, a f (x) = 6x^3 + 10x^2 - 2x + 12, to f (0) = 6(0)^3 + 10(0)^2 - 2(0) + 12. Wszystkie wyrazy w tym równaniu idą do 0 z wyjątkiem ostatniego, więc f (0) = 12.
Zamień wynik z kroku 5 na y w równaniu linii stycznej, a następnie zamień wartość x użytą w kroku 5 na x w równaniu linii stycznej i rozwiąż b.
Przykład: Wiesz z poprzedniego kroku, że y = -2x + b. Jeśli y = 12, gdy x = 0, to 12 = -2(0) + b. Jedyną możliwą wartością b, która da prawidłowy wynik, jest 12, dlatego b = 12.
Napisz równanie linii stycznej, używając znalezionych wartości m i b.
Przykład: Znasz m = -2 i b = 12, więc y = -2x + 12.
Rzeczy, których będziesz potrzebować
- Ołówek
- Papier
- Kalkulator
