Czy zastanawiałeś się kiedyś, jak są ze sobą powiązane funkcje trygonometryczne, takie jak sinus i cosinus? Oba są używane do obliczania boków i kątów w trójkątach, ale związek idzie dalej.Tożsamości kofunkcyjnedaj nam konkretne formuły, które pokazują, jak konwertować między sinusem i cosinusem, tangensem i cotangensem oraz secansem i cosecansem.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Sinus kąta jest równy cosinusowi jego dopełnienia i odwrotnie. Dotyczy to również innych kofunkcji.
Łatwym sposobem na zapamiętanie, które funkcje są kofunkcjami, jest to, że dwie funkcje trygonometryczne sąkofunkcjejeśli jeden z nich ma przedrostek „co-”. Więc:
- sinus iwspółsinuswspółFunkcje.
- styczna iwspółstyczne sąwspółFunkcje.
- sieczna iwspółsieczne sąwspółFunkcje.
Możemy obliczyć tam iz powrotem między kofunkcjami używając tej definicji: Wartość funkcji kąta jest równa wartości kofunkcji dopełnienia.
Brzmi to skomplikowanie, ale zamiast mówić ogólnie o wartości funkcji, użyjmy konkretnego przykładu.sinuskąta równa się
cosinusjego dopełnienia. To samo dotyczy innych kofunkcji: tangens kąta równa się cotangensowi jego dopełnienia.Pamiętaj: dwa kąty sąkomplementyjeśli sumują się do 90 stopni.
Tożsamości kofunkcyjne w stopniach:
(Zauważ, że 90° −xdaje nam dopełnienie kąta.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Tożsamości kofunkcyjne w radianach
Pamiętaj, że możemy też pisać rzeczy w kategoriachradiany, która jest jednostką SI służącą do pomiaru kątów. Dziewięćdziesiąt stopni to to samo co π/2 radiany, więc możemy również zapisać tożsamości kofunkcji w ten sposób:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\duży)
Dowód tożsamości kofunkcji
To wszystko brzmi ładnie, ale jak możemy udowodnić, że to prawda? Testowanie tego samodzielnie na kilku przykładowych trójkątach może pomóc ci poczuć się pewniej, ale jest też bardziej rygorystyczny dowód algebraiczny. Udowodnijmy tożsamości kofunkcji dla sinusa i cosinusa. Będziemy pracować w radianach, ale to to samo, co przy użyciu stopni.
Dowód:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
Przede wszystkim sięgnij w swojej pamięci do tego wzoru, ponieważ użyjemy go w naszym dowodzie:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
Rozumiem? DOBRZE. Teraz udowodnijmy: grzech(x) = cos (π/2 - x).
Możemy przepisać cos (π/2 −x) lubię to:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( x)
bo wiemy
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ i } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Więc
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
Ta-da! Teraz udowodnijmy to za pomocą cosinusa!
Dowód:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Kolejny powiew z przeszłości: pamiętasz tę formułę?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
Zaraz go użyjemy. Teraz udowodnijmy:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Możemy przepisać grzech (π/2 −x) lubię to:
\begin{aligned} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
bo wiemy
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ i } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Więc dostajemy
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
Kalkulator kofunkcji
Wypróbuj kilka przykładów samodzielnej pracy z kofunkcjami. Ale jeśli utkniesz, Math Celebrity ma kalkulator kofunkcji, który pokazuje krok po kroku rozwiązania problemów kofunkcji.
Miłego obliczania!