Zasady dotyczące długości boków trójkąta

Geometria euklidesowa, podstawowa geometria nauczana w szkole, wymaga pewnych relacji między długościami boków trójkąta. Nie można po prostu wziąć trzech przypadkowych odcinków linii i utworzyć trójkąt. Odcinki linii muszą spełniać twierdzenia o nierówności trójkąta. Inne twierdzenia określające relacje między bokami trójkąta to twierdzenie Pitagorasa i prawo cosinusów.

Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o nierówności trójkąta, długości dowolnych dwóch boków trójkąta muszą sumować się do więcej niż długość trzeciego boku. Oznacza to, że nie możesz narysować trójkąta o długości boku 2, 7 i 12, na przykład, ponieważ 2 + 7 to mniej niż 12. Aby uzyskać intuicyjne wyczucie tego, wyobraź sobie najpierw narysowanie odcinka linii o długości 12 cm. Teraz pomyśl o dwóch innych odcinkach linii o długości 2 cm i 7 cm przymocowanych do dwóch końców odcinka 12 cm. Oczywiste jest, że nie byłoby możliwe zetknięcie się dwóch końcowych segmentów. Musiałyby się zsumować co najmniej do 12 cm.

Najdłuższy bok trójkąta znajduje się naprzeciwko największego kąta. Jest to kolejne twierdzenie o nierówności trójkąta i ma intuicyjny sens. Można z tego wyciągnąć różne wnioski. Na przykład w trójkącie rozwartym najdłuższy bok musi znajdować się naprzeciwko kąta rozwartego. Odwrotność tego jest również prawdziwa. Największy kąt w trójkącie to ten, który znajduje się w poprzek najdłuższego boku.

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej (boku w poprzek kąta prostego) jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków. Zatem jeśli długość przeciwprostokątnej wynosi c, a długości pozostałych dwóch boków to aib, to c^2 = a^2 + b^2. Jest to starożytne twierdzenie, które było znane od tysięcy lat i od wieków było używane przez budowniczych i matematyków.

Prawo cosinusów to uogólniona wersja twierdzenia Pitagorasa, która odnosi się do wszystkich trójkątów, a nie tylko tych z kątami prostymi. Zgodnie z tym prawem, jeśli trójkąt ma boki o długości a, b i c, a kąt w poprzek boku o długości c wynosi C, to c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC. Widać, że gdy C wynosi 90 stopni, cosC = 0, a prawo cosinusów sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa.