Jeśli widzisz wyrażenia 32 i 53, możesz z rozmachem ogłosić, że oznaczają one „trzy do kwadratu” i „pięć do sześcianu” i być w stanie znaleźć równoważne liczby bez wykładniki, liczby reprezentowane przez indeksy górne w prawym górnym rogu. Te liczby w tym przypadku to 9 i 125.
Ale co, jeśli zamiast powiedzmy prostej funkcji wykładniczej, takiej jak y = x 3, zamiast tego musisz rozwiązać równanie takie jak y = 3x. Tutaj x, zmienna zależna, pojawia się jako wykładnik. Czy istnieje sposób na ściągnięcie tej zmiennej z jej miejsca, aby łatwiej sobie z nią poradzić matematycznie?
W rzeczywistości jest, a odpowiedź leży w naturalnym dopełnieniu wykładników, które są zabawnymi i pomocnymi wielkościami znanymi jako logarytmy.
Czym są wykładniki?
Na wykładnik potęgowy, zwany także a moc, to skompresowany sposób wyrażania powtarzających się mnożeń samej liczby. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Każda liczba podniesiona do potęgi 1 zachowuje tę samą wartość; dowolna liczba z wykładnikiem 0 jest równa 1. Na przykład 721 = 72; 720 = 1.
Wykładniki mogą być ujemne, tworząc zależność x−n= 1/(xnie). Mogą być również wyrażone jako ułamki, np. 2(5/3). W przypadku wyrażenia jako ułamki zarówno licznik, jak i mianownik muszą być liczbami całkowitymi.
Czym są logarytmy?
Logarytmy lub „logi” mogą być traktowane jako wykładniki wyrażone jako coś innego niż potęga. To prawdopodobnie niewiele pomoże, więc może wystarczy jeden lub dwa przykłady.
W wyrażeniu 103 = 1,000, liczba 10 to bazai jest podnoszona do trzeciej potęgi (lub moc trzy). Możesz to wyrazić jako „podstawa 10 podniesiona do trzeciej potęgi równa się 1000”.
Przykładem logarytmu jest log10(1,000) = 3. Zauważ, że liczby i ich wzajemne relacje są takie same jak w poprzednim przykładzie, ale zostały przesunięte. Mówiąc słowami, oznacza to, że „podstawa logarytmu 10 z 1000 równa się 3.”.
Wartość po prawej stronie to potęga, do której należy podnieść podstawę 10, aby równała się argument, lub wejście do dziennika, wartość w nawiasach (w tym przypadku 1000). Wartość ta musi być dodatnia, ponieważ podstawa — która może być liczbą inną niż 10, ale zakłada się, że jest pominięta jako 10, np. „log 4” — jest również zawsze dodatnia.
Przydatne zasady logarytmu
Jak więc łatwo pracować między dziennikami i wykładnikami? Kilka zasad dotyczących zachowania dzienników może pomóc w rozwiązaniu problemów z wykładnikami.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ − }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
Rozwiązywanie dla wykładnika
Dzięki powyższym informacjom możesz spróbować rozwiązać wykładnik w równaniu.
Przykład: Jeśli 50 = 4x, co to jest x?
Jeśli weźmiesz logarytm o podstawie 10 z każdej strony i pominiesz wyraźną identyfikację podstawy, otrzymamy log 50 = log 4x. Z powyższego pola wiesz, że log 4x = x log 4. To pozostawia cię z
log 50 = x log 4 lub x = (log 50)/(log 4).
Korzystając z wybranego kalkulatora lub urządzenia elektronicznego, okazuje się, że rozwiązaniem jest (1.689/0.602) = 2.82.
Rozwiązywanie równań wykładniczych za pomocą e
Te same zasady obowiązują, gdy baza jest mi, tak zwany naturalny logarytm, który ma wartość około 2,7183. Powinieneś również mieć przycisk do tego na swoim kalkulatorze. Ta wartość również otrzymuje swój własny zapis: logmix jest napisane po prostu "ln x".
- Funkcja y = mix i, gdzie e nie jest zmienną, ale stałą o tej wartości, jest jedyną funkcją o nachyleniu równym jej własnej wysokości dla wszystkich x i y.
- Tak jak log1010x = x, ln ex = x dla wszystkich x.
Przykład: Rozwiąż równanie 16 = e2,7x.
Jak wyżej, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, więc x = 2/77/2,7 = 1.03.