W matematyce kontrprzykład służy do obalenia twierdzenia. Jeśli chcesz udowodnić, że zdanie jest prawdziwe, musisz napisać dowód, aby wykazać, że zawsze jest prawdziwe; podanie przykładu nie wystarczy. W porównaniu z pisaniem dowodu pisanie kontrprzykładu jest znacznie prostsze; jeśli chcesz pokazać, że zdanie nie jest prawdziwe, wystarczy podać tylko jeden przykład scenariusza, w którym zdanie jest fałszywe. Większość kontrprzykładów w algebrze obejmuje manipulacje numeryczne.
Dwie klasy matematyki
Pisanie korekt i znajdowanie kontrprzykładów to dwie podstawowe klasy matematyki. Większość matematyków koncentruje się na pisaniu korekt, aby opracować nowe twierdzenia i właściwości. Gdy twierdzeń lub przypuszczeń nie można udowodnić, matematycy obalają je, podając kontrprzykłady.
Kontrprzykłady są konkretne
Zamiast używać zmiennych i abstrakcyjnych notacji, możesz użyć przykładów liczbowych, aby obalić argument. W algebrze większość kontrprzykładów dotyczy manipulacji przy użyciu różnych liczb dodatnich i ujemnych lub nieparzystych i parzystych, przypadków ekstremalnych i liczb specjalnych, takich jak 0 i 1.
Wystarczy jeden kontrprzykład
Filozofia kontrprzykładu polega na tym, że jeśli w jednym scenariuszu zdanie nie jest prawdziwe, to zdanie jest fałszywe. Przykładem niematematycznym jest „Tom nigdy nie skłamał”. Aby pokazać, że to stwierdzenie jest prawdziwe, musisz dostarczyć „dowodu”, że Tom nigdy nie skłamał, śledząc każde oświadczenie Toma. Aby jednak obalić to stwierdzenie, wystarczy pokazać jedno kłamstwo, jakie Tom kiedykolwiek wypowiedział.
Słynne kontrprzykłady
„Wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste”. Chociaż prawie wszystkie liczby pierwsze, w tym wszystkie liczby pierwsze powyżej 3, są nieparzyste, „2” jest liczbą pierwszą, która jest parzysta; to stwierdzenie jest fałszywe; „2” jest odpowiednim kontrprzykładem.
„Odejmowanie jest przemienne”. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie są przemienne – można je wykonywać w dowolnej kolejności. Oznacza to, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, a + b= b + a i a * b = b * a. Jednak odejmowanie nie jest przemienne; kontrprzykład dowodzący tego to: 3 - 5 nie równa się 5 - 3.
„Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna”. Funkcja bezwzględna |x| jest ciągła dla wszystkich liczb dodatnich i ujemnych; ale nie jest różniczkowalna przy x = 0; od |x| jest funkcją ciągłą, ten kontrprzykład dowodzi, że nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna.