Jeśli od jakiegoś czasu zajmujesz się matematyką, prawdopodobnie spotkałeś się z wykładnikami. Wykładnik to liczba nazywana podstawą, po której następuje inna liczba, zwykle zapisywana w indeksie górnym. Druga liczba to wykładnik potęgi. Informuje, ile razy należy samodzielnie pomnożyć bazę. Na przykład 82 oznacza pomnożenie 8 przez siebie dwa razy, aby uzyskać 16, a 103 oznacza 10 × 10 × 10 = 1000. Kiedy masz ujemne wykładniki, reguła ujemnego wykładnika nakazuje, aby zamiast mnożyć podstawę wskazaną liczbę razy, podzielić podstawę na 1 taką liczbę razy. Więc
8^{ -2} = \frac{1}{8 × 8} = \frac{1}{64} \text{ i } 10^{-3} = \frac{1}{10 × 10 × 10} = \frac{1}{1000} = 0,001
Można wyrazić uogólnione ujemny wykładnik definicja pisząc:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Aby pomnożyć przez ujemny wykładnik, odejmij ten wykładnik. Aby podzielić przez ujemny wykładnik, dodaj ten wykładnik.
Mnożenie ujemnych wykładników
Pamiętając, że możesz mnożyć wykładniki tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę, ogólna zasada mnożenia dwóch liczb podniesionych do wykładników polega na dodaniu wykładników. Na przykład:
x^5 × x^3 = x^{(5 +3)} = x^8
Aby zobaczyć, dlaczego to prawda, zauważ, żex5 znaczy (x × x × x × x × x) ix3 znaczy (x × x × x). Kiedy pomnożysz te terminy, otrzymasz (x × x × x × x × x × x × x × x) = x8.
Ujemny wykładnik oznacza podzielenie podstawy podniesionej do tej potęgi na 1. Więc
x^5 × x^{ -3} = x^5 × \frac{1}{x^3} = (x × x × x × x × x) × \frac{1}{x × x × x}
To jest prosty podział. Możesz anulować trzy z x, pozostawiając (x × x) lub x2. Innymi słowy, gdy mnożysz przez ujemny wykładnik, nadal dodajesz wykładnik, ale ponieważ jest ujemny, jest to równoznaczne z odjęciem go. Ogólnie,
x^n × x^{-m} = x^{(n - m)}
Dzielenie ujemnych wykładników
Zgodnie z definicją wykładnika ujemnego:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Kiedy dzielisz przez ujemny wykładnik, jest to równoważne mnożeniu przez ten sam wykładnik, tylko dodatni. Aby zobaczyć, dlaczego to prawda, zastanów się
\frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{1/x^n} = x^n
Na przykład liczba
\frac{x^5}{x^{-3}} = x^5 × x^3
Dodajesz wykładniki, aby uzyskaćx8. Zasadą jest:
\frac{x^n}{x^{-m}} = x^{(n + m)}
Przykłady
1. Uproszczać
x^5y^4 × x^{-2}y^2
Zbieranie wykładników:
x^{(5 - 2)}y^{(4+2)} = x^3y^6
Możesz manipulować wykładnikami tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę, więc nie możesz dalej upraszczać.
2. Uproszczać
\frac{x^3y^{-5}}{x^2 y^{-3 }}
Dzielenie przez ujemny wykładnik jest równoznaczne z pomnożeniem przez ten sam dodatni wykładnik, więc możesz przepisać to wyrażenie:
\begin{wyrównane} \frac{(x^3y^{-5}) × y^3}{ x^2} &= x^{(3 - 2)}y^{(-5 + 3)} \ \ &= xy^{-2} \\ &=\frac{x}{y^2} \end{wyrównany}
3. Uproszczać
\frac{x^0y^2}{xy^{-3}}
Dowolna liczba podniesiona do wykładnika 0 jest równa 1, więc możesz przepisać to wyrażenie, aby było czytane:
x^{-1}y^{(2 + 3)} =\frac{y^5}{x}