Trójmiany to wielomiany z trzema wyrazami. Dostępne są pewne zgrabne sztuczki do rozkładania trójmianów na czynniki; wszystkie te metody wiążą się z twoją zdolnością rozłożenia liczby na wszystkie jej możliwe pary czynników. Warto powtórzyć, że w przypadku tych problemów ważne jest, aby pamiętać, że należy wziąć pod uwagę wszystkie możliwe pary czynników, a nie tylko czynniki pierwsze. Na przykład, jeśli rozliczasz liczbę 24, wszystkie możliwe pary to 1, 24; 2, 12; 3, 8 i 4, 6.
Zastrzeżenie 1
Zwróć uwagę na kolejność zapisywania trójmianu. Upewnij się, że piszesz go w kolejności malejącej, co oznacza, że najwyższy wykładnik zmiennych (takich jak „x”) po lewej stronie maleje sekwencyjnie, gdy poruszasz się w prawo.
Przykład 1: – 10 - 3x+ x^2 należy przepisać jako x^2 - 3x – 10
Przykład 2: – 11x + 2x^2 – 6 należy przepisać jako 2x^2 – 11x – 6
Zastrzeżenie 2
Pamiętaj, aby usunąć wszystkie czynniki wspólne dla wszystkich wyrazów trójmianu. Wspólny czynnik nazywa się GCF (największy wspólny czynnik).
Przykład 1: 2x^3y – 8x^2y^2 – 6xy^3 \= (2xy) x^2 – (2xy) 4xy – (2xy) 3y^2 \= 2xy (x^2 – 4xy - 3y^2)
Jeśli to możliwe, spróbuj rozłożyć na czynniki. W takim przypadku pozostały trójmian nie może być dalej rozkładany na czynniki; stąd jest to odpowiedź w najbardziej uproszczonej formie.
Przykład 2: 3x^2 – 9x – 30 \= 3(x^2 - 3x – 10) Możesz dalej rozkładać ten trójmian (x^2 - 3x – 10). Prawidłowa odpowiedź na to pytanie to 3(x + 2)(x – 5); metodę osiągnięcia tego omówiono w sekcji 3.
Sztuczka 1 - Próba i błąd
Rozważ trójmian (x^2 - 3x – 10). Twoim celem jest rozbicie liczby 10 na pary czynników w taki sposób, aby po dodaniu tych dwóch czynników 10 miały one różnicę 3, co jest współczynnikiem środkowym. Aby to osiągnąć, wiesz, że jeden z dwóch czynników będzie pozytywny, a drugi negatywny. Wyraźnie napisz (x + )( x - ), zostawiając miejsce na drugi termin w każdym nawiasie. Pary dzielników 10 to 1, 10, a także 2, 5. Jedynym sposobem na uzyskanie -3 przez dodanie tych dwóch czynników jest wybranie -5 i 2. W ten sposób otrzymujesz -3 za współczynnik średniookresowy. Uzupełnij puste miejsca. Twoja odpowiedź to (x + 2)(x – 5)
Sztuczka 2 – brytyjska metoda
Ta metoda jest pomocna, gdy trójmian ma wiodący współczynnik, na przykład 2x^2 – 11x – 6, gdzie 2 jest „wiodącym” współczynnikiem, ponieważ należy do wiodącej lub pierwszej zmiennej. Zmienna wiodąca to ta, która ma najwyższy wykładnik i zawsze musi być zapisana jako pierwsza i znajdować się po lewej stronie.
Pomnóż pierwszy wyraz (2x^2) i ostatni wyraz (6) bez ich znaków, aby otrzymać iloczyn 12x^2. Rozłóż współczynnik 12 na wszystkie możliwe pary czynników, niezależnie od tego, czy są one pierwsze. Zawsze zaczynaj od 1. Twoje współczynniki powinny wynosić 1, 12; 2, 6 i 3, 4. Weź każdą parę i zobacz, czy daje współczynnik środkowego okresu -11, gdy je dodasz lub odejmiesz. Po wybraniu 1 i 12 odejmowanie daje 11. Dostosuj odpowiednio znak; w tym zadaniu środkowy wyraz to -11x, dlatego pary muszą mieć wartość -12x i 1x, co jest po prostu zapisywane jako x.
Wyraźnie wypisz wszystkie terminy: 2x^2 – 12x + x – 6 Dla każdej pary terminów wydziel wspólne terminy. 2x (x – 6) + (x – 6) lub 2x (x – 6) + (1)(x – 6)
Wyodrębnij wspólne czynniki. (x – 6)(2x + 1)
Wniosek
Po zakończeniu faktoryzacji użyj FOIL (pierwsza, wewnętrzna, zewnętrzna, ostatnia metoda mnożenia dwóch dwumianów), aby sprawdzić, czy masz poprawną odpowiedź. Powinieneś otrzymać oryginalny wielomian, gdy używasz FOIL do potwierdzenia, że faktoring jest poprawny.