Kiedy ściskasz lub rozciągasz sprężynę – lub jakikolwiek elastyczny materiał – instynktownie wiesz, co się stanie zdarza się, gdy zwolnisz siłę, którą przykładasz: sprężyna lub materiał powróci do swojego pierwotnego kształtu długość.
To tak, jakby w sprężynie działała „przywracająca” siła, która zapewnia jej powrót do naturalnego, nieskompresowanego i nierozciągniętego stanu po zwolnieniu naprężeń, które przykładasz do materiału. To intuicyjne zrozumienie – że elastyczny materiał powraca do swojego położenia równowagi po usunięciu przyłożonej siły – jest znacznie dokładniej określane ilościowo przezPrawo Hooke'a.
Prawo Hooke'a nosi imię jego twórcy, brytyjskiego fizyka Roberta Hooke'a, który stwierdził w 1678 roku, że „rozszerzenie jest proporcjonalne do siła." Prawo zasadniczo opisuje liniową zależność między rozciągnięciem sprężyny a siłą przywracającą, jaką powoduje w wiosna; innymi słowy, aby rozciągnąć lub ścisnąć sprężynę dwa razy więcej, potrzeba dwa razy więcej siły.
Prawo, choć bardzo przydatne w wielu materiałach elastycznych, zwanych materiałami „liniowo elastycznymi” lub „haczykowatymi”, nie ma zastosowania do
każdysytuacji i jest technicznie przybliżeniem.Jednak, podobnie jak wiele przybliżeń w fizyce, prawo Hooke'a jest przydatne w idealnych sprężynach i wielu elastycznych materiałach aż do ich „granicy proporcjonalności”.kluczową stałą proporcjonalności w prawie jest stała sprężyny, a poznanie tego, co to mówi, i nauczenie się, jak to obliczać, jest niezbędne do zastosowania prawa Hooke'a w praktyce.
Formuła prawa Hooke'a
Stała sprężystości jest kluczową częścią prawa Hooke'a, więc aby zrozumieć tę stałą, musisz najpierw wiedzieć, czym jest prawo Hooke'a i co ono mówi. Dobra wiadomość to proste prawo opisujące zależność liniową i mające postać podstawowego równania prostoliniowego. Wzór na prawo Hooke'a dotyczy w szczególności zmiany wydłużenia sprężyny,x, do siły przywracającej,fa, generowane w nim:
F = −kx
Dodatkowy termin,k, jest stałą sprężystości. Wartość tej stałej zależy od właściwości konkretnej sprężyny iw razie potrzeby można ją bezpośrednio wyprowadzić z właściwości sprężyny. Jednak w wielu przypadkach – zwłaszcza na wstępnych zajęciach z fizyki – otrzymasz po prostu wartość stałej sprężystości, dzięki czemu możesz przejść dalej i rozwiązać problem. Możliwe jest również bezpośrednie obliczenie stałej sprężystości za pomocą prawa Hooke'a, pod warunkiem, że znasz rozciągnięcie i wielkość siły.
Przedstawiamy stałą wiosenną,k
„Wielkość” relacji pomiędzy wydłużeniem a siłą powrotną sprężyny zawarta jest w wartości stałej sprężyny,k. Stała sprężyny pokazuje, jaka siła jest potrzebna do ściśnięcia lub wydłużenia sprężyny (lub kawałka elastycznego materiału) o określoną odległość. Jeśli zastanowisz się, co to oznacza w jednostkach, lub sprawdzisz wzór prawa Hooke'a, zobaczysz, że stała sprężystości ma jednostki siły na odległość, a więc w jednostkach SI, niutony/metr.
Wartość stałej sprężystości odpowiada właściwościom danej sprężyny (lub innego rodzaju przedmiotu sprężystego) pod uwagę. Wyższa stała sprężystości oznacza sztywniejszą sprężynę, którą trudniej rozciągnąć (ponieważ przy danej przemieszczeniu,x, wynikowa siłafabędzie wyższa), podczas gdy sprężyna luźniejsza, łatwiejsza do rozciągnięcia, będzie miała niższą stałą sprężystości. Krótko mówiąc, stała sprężystości charakteryzuje właściwości sprężyste danej sprężyny.
Energia potencjalna sprężystości jest kolejnym ważnym pojęciem związanym z prawem Hooke'a i charakteryzuje energię przechowywany w sprężynie, gdy jest rozciągnięty lub ściśnięty, co pozwala mu na przekazanie siły przywracającej po zwolnieniu koniec. Ściśnięcie lub wydłużenie sprężyny przekształca energię, którą przekazujesz, w potencjał sprężysty, a kiedy zwolnić go, energia jest przekształcana w energię kinetyczną, gdy sprężyna powraca do pozycji równowagi.
Kierunek w prawie Hooke'a
Bez wątpienia zauważyłeś znak minus w prawie Hooke'a. Jak zawsze, wybór kierunku „dodatniego” jest zawsze ostatecznie arbitralny (można ustawić osie tak, aby biegły w dowolnym kierunku i fizyka działa dokładnie w ten sam sposób), ale w tym przypadku znak ujemny przypomina, że siła jest przywracająca siła. „Siła przywracająca” oznacza, że działaniem siły jest powrót sprężyny do pozycji równowagi.
Jeśli nazwiesz pozycję równowagi końca sprężyny (tj. jej „naturalną” pozycję bez przyłożenia sił)x= 0, to wydłużenie sprężyny doprowadzi do dodatniegox, a siła będzie działać w kierunku ujemnym (tj. z powrotem w kierunkux= 0). Z drugiej strony kompresji odpowiada ujemna wartość dlax, a następnie siła działa w kierunku dodatnim, ponownie w kierunkux= 0. Niezależnie od kierunku przemieszczenia sprężyny znak ujemny opisuje siłę cofającą ją w przeciwnym kierunku.
Oczywiście wiosna wcale nie musi się ruszaćxkierunek (równie dobrze można napisać prawo Hooke'a ztaklubzna swoim miejscu), ale w większości przypadków problemy związane z prawem są w jednym wymiarze, a nazywa się toxdla wygody.
Elastyczne równanie energii potencjalnej
Pojęcie energii potencjalnej sprężystości, wprowadzone wraz ze stałą sprężystości we wcześniejszej części artykułu, jest bardzo przydatne, jeśli chcesz nauczyć się obliczaćkz wykorzystaniem innych danych. Równanie na energię potencjalną sprężystości odnosi się do przemieszczenia,x, a stała sprężystości,k, do potencjału sprężystegoPEEl, i przyjmuje taką samą podstawową postać jak równanie na energię kinetyczną:
PE_{el}=\frac{1}{2}kx^2
Jako forma energii jednostkami energii potencjalnej sprężystości są dżule (J).
Elastyczna energia potencjalna jest równa wykonanej pracy (pomijając straty ciepła lub inne straty) i możesz: łatwo obliczyć na podstawie odległości, na jaką sprężyna została rozciągnięta, jeśli znasz stałą sprężyny dla wiosna. Podobnie możesz zmienić to równanie, aby znaleźć stałą sprężystości, jeśli znasz wykonaną pracę (odW = PEEl) w naciągnięciu sprężyny i o ile sprężyna została rozciągnięta.
Jak obliczyć stałą sprężystości?
Istnieją dwa proste podejścia, których można użyć do obliczenia stałej sprężystości, korzystając z prawa Hooke'a, wraz z pewnymi danymi dotyczącymi siły przywracającej (lub przyłożonej) siły oraz przemieszczenie sprężyny z jej położenia równowagi lub wykorzystanie równania energii potencjalnej sprężystości wraz z figurami dotyczącymi pracy wykonanej przy wydłużeniu sprężyny i przemieszczenia wiosna.
Korzystanie z prawa Hooke'a jest najprostszym podejściem do znalezienia wartości stałej sprężystości i możesz nawet samodzielnie pozyskaj dane za pomocą prostego zestawu, w którym wieszasz znaną masę (z siłą jej ciężaru) podane przezfa = mg) ze źródła i zanotować wydłużenie sprężyny. Ignorując znak minus w prawie Hooke’a (ponieważ kierunek nie ma znaczenia przy obliczaniu wartości stałej sprężystości) i dzieląc przez przemieszczenie,x, daje:
k=\frac{F}{x}
Stosowanie wzoru na elastyczną energię potencjalną jest podobnie prostym procesem, ale nie nadaje się również do prostego eksperymentu. Jeśli jednak znasz energię potencjalną sprężystości i przemieszczenie, możesz ją obliczyć za pomocą:
k=\frac{2PE_{el}}{x^2}
W każdym razie otrzymasz wartość z jednostkami N/m.
Obliczanie stałej sprężystości: podstawowe problemy przykładowe
Sprężyna z dodanym ciężarem 6 N rozciąga się o 30 cm w stosunku do swojego położenia równowagi. Jaka jest stała sprężystościkna wiosnę?
Rozwiązanie tego problemu jest łatwe, pod warunkiem, że przed obliczeniem pomyślisz o otrzymanych informacjach i przeliczysz przemieszczenie na metry. Ciężar 6 N to liczba w niutonach, więc od razu powinieneś wiedzieć, że jest to siła, a odległość, na jaką sprężyna rozciąga się od położenia równowagi, to przemieszczenie,x. Więc pytanie mówi ci, żefa= 6 N ix= 0,3 m, co oznacza, że stałą sprężystości można obliczyć w następujący sposób:
\begin{wyrównany} k&=\frac{F}{x} \\ &= \frac{6\;\text{N}}{0.3\;\text{m}} \\ &= 20\;\text {N/m} \end{wyrównany}
Na przykład wyobraź sobie, że wiesz, że 50 J energii potencjalnej sprężystości jest utrzymywane w sprężynie, która została ściśnięta 0,5 m od jej położenia równowagi. Jaka jest w tym przypadku stała sprężystości? Ponownie podejście polega na zidentyfikowaniu posiadanych informacji i wstawieniu wartości do równania. Tutaj możesz to zobaczyćPEEl = 50 J ix= 0,5 m. Zatem ponownie uporządkowane równanie energii potencjalnej sprężystości daje:
\begin{wyrównane} k&=\frac{2PE_{el}}{x^2} \\ &= \frac{2×50\;\text{J}}{(0,5\;\text{m})^ 2} \\ &=\frac{100\;\text{J}}{0.25 \;\text{m}^2} \\ &= 400\;\text{N/m} \end{wyrównany}
Stała sprężyny: problem z zawieszeniem samochodu
Samochód o wadze 1800 kg ma system zawieszenia, który nie może przekroczyć 0,1 m kompresji. Jaką stałą sprężyny musi mieć zawieszenie?
Ten problem może wydawać się inny niż w poprzednich przykładach, ale ostatecznie proces obliczania stałej sprężystości,k, jest dokładnie taki sam. Jedynym dodatkowym krokiem jest przełożenie masy auta na awaga(tj. siła grawitacji działająca na masę) na każdym kole. Wiesz, że siła wynikająca z ciężaru samochodu jest wyrażona przezfa = mg, gdziesol= 9,81 m/s2, przyspieszenie spowodowane grawitacją na Ziemi, dzięki czemu można dostosować wzór prawa Hooke'a w następujący sposób:
\begin{wyrównane} k&=\frac{F}{x} \\ &=\frac{mg}{x} \end{wyrównane}
Jednak tylko jedna czwarta całkowitej masy samochodu spoczywa na dowolnym kole, więc masa na sprężynę wynosi 1800 kg / 4 = 450 kg.
Teraz wystarczy wprowadzić znane wartości i rozwiązać, aby znaleźć siłę potrzebnych sprężyn, zwracając uwagę, że maksymalne ściskanie, 0,1 m, to wartość dlaxbędziesz musiał użyć:
\begin{wyrównane} k&= \frac{450 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2}{0,1 \;\text{m}} \\ &= 44,145 \;\ tekst{N/m} \end{wyrównany}
Można to również wyrazić jako 44,145 kN/m, gdzie kN oznacza „kiloniuton” lub „tysiące niutonów”.
Ograniczenia prawa Hooke'a
Ważne jest, aby ponownie podkreślić, że prawo Hooke'a nie ma zastosowania dokażdysytuacji i aby skutecznie z niej korzystać, musisz pamiętać o ograniczeniach prawa. Stała sprężystości,k, jest gradientem prostej theczęśćwykresufavs.x; innymi słowy, siła przyłożona vs. przemieszczenie z położenia równowagi.
Jednak po przekroczeniu „granicy proporcjonalności” dla danego materiału zależność nie jest już liniowa, a prawo Hooke’a przestaje mieć zastosowanie. Podobnie, gdy materiał osiągnie „limit elastyczności”, nie zareaguje jak sprężyna, a zamiast tego zostanie trwale odkształcony.
Wreszcie, prawo Hooke'a zakłada „idealną sprężynę”. Częścią tej definicji jest to, że reakcja sprężyny jest liniowa, ale zakłada się również, że jest bezmasowa i bez tarcia.
Te dwa ostatnie ograniczenia są zupełnie nierealne, ale pozwalają uniknąć komplikacji wynikających z siły grawitacji działającej na samą sprężynę oraz strat energii na tarcie. Oznacza to, że prawo Hooke'a zawsze będzie raczej przybliżone niż dokładne – nawet w granicach proporcjonalności – ale odchylenia zwykle nie powodują problemu, chyba że potrzebujesz bardzo precyzyjnych odpowiedzi.