Większość ludzi wie o zachowaniu energii. W skrócie mówi, że energia jest oszczędzana; nie jest tworzone ani niszczone, po prostu zmienia się z jednej formy w drugą.
Więc jeśli trzymasz piłkę całkowicie nieruchomo, dwa metry nad ziemią, a następnie ją wypuszczasz, skąd bierze się energia, którą czerpie? Jak coś może nadal uzyskiwać tyle energii kinetycznej, zanim uderzy w ziemię?
Odpowiedź brzmi, że nieruchoma kula posiada formę zmagazynowanej energii zwanągrawitacyjna energia potencjalnalub w skrócie GPE. Jest to jedna z najważniejszych form zmagazynowanej energii, z jaką uczeń szkoły średniej spotka się w fizyce.
GPE to forma energii mechanicznej spowodowanej wysokością obiektu nad powierzchnią Ziemi (lub w rzeczywistości jakimkolwiek innym źródłem pola grawitacyjnego). Każdy obiekt, który nie znajduje się w najniższym punkcie energetycznym takiego układu, ma pewną grawitacyjną energię potencjalną, a jeśli uwolniony (tj. pozwolić mu swobodnie opadać), będzie przyspieszał w kierunku środka pola grawitacyjnego, aż coś zatrzymuje to.
Chociaż proces znajdowania grawitacyjnej energii potencjalnej obiektu jest dość proste matematycznie pojęcie jest niezwykle przydatne, jeśli chodzi o obliczenia inne ilości. Na przykład poznanie pojęcia GPE sprawia, że naprawdę łatwo można obliczyć energię kinetyczną i końcową prędkość spadającego obiektu.
Definicja grawitacyjnej energii potencjalnej
GPE zależy od dwóch kluczowych czynników: położenia obiektu względem pola grawitacyjnego oraz masy obiektu. Środek masy ciała tworzący pole grawitacyjne (na Ziemi, środek planety) to punkt o najniższej energii w polu (choć w praktyce rzeczywiste ciało przestanie spadać przed tym punktem, tak jak robi to powierzchnia Ziemi), a im dalej od tego punktu znajduje się obiekt, tym więcej ma zmagazynowanej energii dzięki swojemu pozycja. Ilość zmagazynowanej energii wzrasta również, gdy obiekt jest masywniejszy.
Możesz zrozumieć podstawową definicję grawitacyjnej energii potencjalnej, jeśli pomyślisz o książce spoczywającej na półce z książkami. Książka może spaść na podłogę z powodu jej podwyższonej pozycji względem ziemi, ale zaczyna się na podłogę nie może spaść, bo jest już na powierzchni: książka na półce ma GPE, ale ta na ziemi nie.
Intuicja podpowie również, że książka, która jest dwa razy grubsza, wywoła dwa razy większe łomotanie, gdy uderzy o ziemię; Dzieje się tak dlatego, że masa obiektu jest wprost proporcjonalna do ilości potencjalnej energii grawitacyjnej obiektu.
Formuła GPE
Wzór na energię potencjalną grawitacji (GPE) jest naprawdę prosty i odnosi się do masymi, przyspieszenie grawitacyjne na Ziemisol) i wysokość nad powierzchnią Ziemihdo zmagazynowanej energii z powodu grawitacji:
GPE=mgh
Jak zwykle w fizyce, istnieje wiele potencjalnych różnych symboli grawitacyjnej energii potencjalnej, w tymUsol, PEgrav i inni. GPE jest miarą energii, więc wynikiem tego obliczenia będzie wartość w dżulach (J).
Przyspieszenie grawitacyjne Ziemi ma (w przybliżeniu) stałą wartość w dowolnym miejscu na powierzchni i wskazuje bezpośrednio na środek masy planety: g = 9,81 m/s2. Biorąc pod uwagę tę stałą wartość, jedyne rzeczy, które musisz obliczyć GPE, to masa obiektu i wysokość obiektu nad powierzchnią.
Przykłady obliczeń GPE
Co więc zrobić, jeśli trzeba obliczyć, ile energii potencjalnej grawitacji ma dany obiekt? W skrócie, możesz po prostu określić wysokość obiektu na podstawie prostego punktu odniesienia (podłoże zwykle działa dobrze) i pomnożyć to przez jego masęmii ziemskiej stałej grawitacyjnejsolznaleźć GPE.
Na przykład wyobraźmy sobie 10-kilogramową masę zawieszoną na wysokości 5 metrów nad ziemią za pomocą systemu bloczków. Ile ma grawitacyjnej energii potencjalnej?
Korzystając z równania i podstawiając znane wartości, otrzymujemy:
\begin{wyrównane} GPE&=mgh \\ &= 10 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 5 \;\text{m}\\ &= 490,5 \;\ tekst{J} \end{wyrównany}
Jeśli jednak zastanawiałeś się nad tą koncepcją podczas czytania tego artykułu, być może zastanawiałeś się nad interesującym pytaniem: Jeśli potencjał grawitacyjny energia obiektu na Ziemi jest naprawdę zerowa tylko wtedy, gdy znajduje się w środku masy (tj. wewnątrz jądra Ziemi), dlaczego obliczasz ją tak, jakby powierzchnia Ziemia jesth = 0?
Prawda jest taka, że wybór punktu „zerowego” dla wysokości jest arbitralny i zwykle robi się to w celu uproszczenia problemu. Ilekroć obliczasz GPE, naprawdę bardziej martwisz się o potencjalną energię grawitacyjnązmianyzamiast jakiejkolwiek absolutnej miary zmagazynowanej energii.
W gruncie rzeczy nie ma znaczenia, czy zdecydujesz się zadzwonić do stołuh= 0 zamiast powierzchni Ziemi, ponieważ zawsze jesteśtak właściwiemówić o zmianach energii potencjalnej związanych ze zmianami wysokości.
Zastanówmy się więc, jak ktoś podnosi 1,5-kilogramowy podręcznik fizyki z powierzchni biurka, podnosząc go 50 cm (tj. 0,5 m) nad powierzchnię. Jaka jest grawitacyjna zmiana energii potencjalnej (oznaczona ∆GPE) dla książki jak jest podnoszona?
Sztuką jest oczywiście nazwanie tabeli punktem odniesienia o wysokościh= 0 lub równoważnie, aby uwzględnić zmianę wysokości (∆h) od pozycji początkowej. W obu przypadkach otrzymujesz:
\begin{wyrównane} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 1,5 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 0,5 \;\text{m}\\ &= 7.36 \;\text{J} \end{wyrównany}
Umieszczanie „G” w GPE
Dokładna wartość przyspieszenia grawitacyjnegosolw równaniu GPE ma duży wpływ na energię potencjalną grawitacji obiektu uniesionego na pewną odległość nad źródłem pola grawitacyjnego. Na przykład na powierzchni Marsa wartośćsoljest około trzy razy mniejszy niż na powierzchni Ziemi, więc jeśli podniesiesz ten sam przedmiot to samo odległość od powierzchni Marsa, miałaby około trzy razy mniej zmagazynowanej energii niż byłaby na Ziemia.
Podobnie, chociaż możesz przybliżyć wartośćsoljak 9,81 m/s2 na powierzchni Ziemi na poziomie morza, w rzeczywistości jest mniejsza, jeśli oddalisz się na znaczną odległość od powierzchni. Na przykład, jeśli byłeś na Mt. Everest, który wznosi się 8848 m (8,848 km) nad powierzchnię Ziemi, będąc tak daleko od środka masy planety obniżyłby wartośćsolnieznacznie, więc byś miałsol= 9,79 m/s2 na szczycie.
Gdybyś z powodzeniem wspiął się na górę i podniósł 2-kilogramową masę 2 m ze szczytu góry w powietrze, jaka byłaby zmiana w GPE?
Jak obliczanie GPE na innej planecie z inną wartościąsol, wystarczy wpisać wartość dlasolktóry pasuje do sytuacji i przejść przez ten sam proces jak powyżej:
\begin{wyrównane} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,79\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.16 \;\text{J} \end{wyrównany}
Na poziomie morza na Ziemi, zsol= 9,81 m/s2, podniesienie tej samej masy zmieniłoby GPE o:
\begin{wyrównane} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,81\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.24 \;\text{J} \end{wyrównany}
Nie jest to duża różnica, ale wyraźnie pokazuje, że wysokość wpływa na zmianę GPE, gdy wykonujesz ten sam ruch podnoszenia. I na powierzchni Marsa, gdziesol= 3,75 m/s2 to byłby:
\begin{wyrównane} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 3,75\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 15 \;\text{J} \end{wyrównany}
Jak widać, wartośćsoljest bardzo ważne dla wyniku, który otrzymasz. Wykonanie tego samego ruchu wznoszącego w głębokiej przestrzeni, z dala od jakiegokolwiek wpływu siły grawitacji, zasadniczo nie zmieniłoby grawitacyjnej energii potencjalnej.
Znajdowanie energii kinetycznej za pomocą GPE
Oszczędność energii można wykorzystać wraz z koncepcją GPE w celu uproszczeniawieleobliczenia w fizyce. Krótko mówiąc, pod wpływem siły „zachowawczej” energia całkowita (w tym energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji i wszystkie inne formy energii) zostaje zachowana.
Siła konserwatywna to taka, w której ilość pracy wykonanej przeciwko sile, aby przesunąć obiekt między dwoma punktami, nie zależy od obranej ścieżki. Więc grawitacja jest konserwatywna, ponieważ podnoszenie obiektu z punktu odniesienia na wysokośćhzmienia grawitacyjną energię potencjalną omgh, ale nie ma znaczenia, czy przesuwasz go po ścieżce w kształcie litery S, czy po linii prostej – zawsze zmienia się po prostu omgh.
Teraz wyobraź sobie sytuację, w której zrzucasz piłkę o wadze 500 g (0,5 kg) z wysokości 15 metrów. Ignorując efekt oporu powietrza i zakładając, że nie obraca się podczas upadku, ile energii kinetycznej będzie miała piłka w chwili kontaktu z podłożem?
Kluczem do tego problemu jest fakt, że całkowita energia jest zachowana, więc cała energia kinetyczna pochodzi z GPE, a więc energia kinetycznamik przy maksymalnej wartości musi być równy GPE przy maksymalnej wartości, lubGPE = mik. Możesz więc łatwo rozwiązać problem:
\begin{wyrównane} E_k &= GPE \\ &= mgh\\ &= 0.5 \;\text{kg} × 9.81\;\text{m/s}^2 × 15 \;\text{m}\\ &= 73,58 \;\text{J} \end{wyrównany}
Znalezienie prędkości końcowej za pomocą GPE i oszczędzania energii
Zasada zachowania energii upraszcza również wiele innych obliczeń dotyczących grawitacyjnej energii potencjalnej. Pomyśl o piłce z poprzedniego przykładu: teraz, gdy znasz całkowitą energię kinetyczną opartą na jej grawitacji energia potencjalna w najwyższym punkcie, jaka jest końcowa prędkość piłki w chwili przed uderzeniem w Ziemię Earth powierzchnia? Możesz to obliczyć na podstawie standardowego równania energii kinetycznej:
E_k=\frac{1}{2}mv^2
O wartościmik wiadomo, możesz ponownie ułożyć równanie i znaleźć prędkośćv:
\begin{wyrównane} v&=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} \\ &=\sqrt{\frac{2 × 73,575 \;\text{J}}{0,5\;\text{kg}} } \\ &=17.16 \;\text{m/s} \end{wyrównany}
Możesz jednak użyć zasady zachowania energii, aby wyprowadzić równanie, które ma zastosowanie dokażdyspadający przedmiot, najpierw zauważając, że w takich sytuacjach -∆GPE = ∆mik, a więc:
mgh = \frac{1}{2}mv^2
Anulowaniemiz obu stron i przearanżowanie daje:
gh = \frac{1}{2}v^2 \\ \text{Dlatego} \;v= \sqrt{2gh}
Zauważ, że to równanie pokazuje, że pomijając opór powietrza, masa nie wpływa na prędkość końcowąv, więc jeśli upuścisz dowolne dwa obiekty z tej samej wysokości, uderzą one w ziemię dokładnie w tym samym czasie i spadną z tą samą prędkością. Możesz również sprawdzić wynik uzyskany za pomocą prostszej, dwuetapowej metody i pokazać, że to nowe równanie rzeczywiście daje ten sam wynik z poprawnymi jednostkami.
Wyprowadzanie pozaziemskich wartościsolKorzystanie z GPE
Wreszcie, poprzednie równanie daje również sposób na obliczeniesolna innych planetach. Wyobraź sobie, że zrzuciłeś 0,5-kilogramową kulę z wysokości 10 m nad powierzchnią Marsa i zarejestrowałeś końcową prędkość (tuż przed uderzeniem w powierzchnię) 8,66 m/s. Jaka jest wartośćsolNa Marsie?
Począwszy od wcześniejszego etapu rearanżacji:
gh = \frac{1}{2}v^2
Widzisz to:
\begin{wyrównane} g &= \frac{v^2}{2h} \\ &= \frac{(8,66 \;\text{m/s})^2}{2 × 10 \;\text{m }} \\ &= 3,75 \;\text{m/s}^2 \end{wyrównany}
Zasada zachowania energii w połączeniu z równaniami na energię potencjalną grawitacji i energię kinetyczną mawielezastosowań, a kiedy przyzwyczaisz się do wykorzystywania zależności, będziesz w stanie z łatwością rozwiązać ogromny zakres problemów fizyki klasycznej.