Równania kinematyczne opisują ruch obiektu podlegającego stałemu przyspieszeniu. Równania te odnoszą się do zmiennych czasu, położenia, prędkości i przyspieszenia poruszającego się obiektu, umożliwiając rozwiązanie dowolnej z tych zmiennych, jeśli znane są inne.
Poniżej znajduje się obraz obiektu przechodzącego stały ruch przyspieszenia w jednym wymiarze. Zmienna t jest na czas, pozycja jest x, prędkość v i przyspieszenie za. Indeksy dolne ja i fa oznaczają odpowiednio „początkowy” i „końcowy”. Zakłada się, że t = 0 w xja i vja.
(wstaw obraz 1)
Lista równań kinematycznych
Poniżej wymieniono trzy podstawowe równania kinematyczne, które mają zastosowanie podczas pracy w jednym wymiarze. Te równania to:
\#\text{1: } v_f=v_i+w\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 w^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Uwagi dotyczące równań kinematycznych
- Te równania działają tylko przy stałym przyspieszeniu (które może wynosić zero w przypadku stałej prędkości).
- W zależności od tego, które źródło czytasz, ostateczne ilości mogą nie mieć indeksu dolnego fa, i/lub mogą być reprezentowane w notacji funkcji jako x (t) – przeczytaj”x w funkcji czasu” lub „x o czasie t" - i v (t). Zauważ, że x (t) nie znaczy x pomnożone przez t!
-
Czasami ilość xfa - xja jest napisane
x, czyli „zmiana w x”, a nawet po prostu jako re, co oznacza przemieszczenie. Wszystkie są równoważne. Pozycja, prędkość i przyspieszenie są wielkościami wektorowymi, co oznacza, że są z nimi powiązane kierunki. W jednym wymiarze kierunek jest zwykle wskazywany przez znaki – wielkości dodatnie są w kierunku dodatnim, a wielkości ujemne w kierunku ujemnym. Indeksy dolne: "0" może być użyte dla pozycji początkowej i prędkości zamiast ja. To „0” oznacza „w t = 0"," i x0 i v0 są zwykle wymawiane jako „x-naught” i „v-naught”. * Tylko jedno z równań nie zawiera czasu. Podczas wypisywania danych i określania, jakiego równania użyć, jest to kluczowe!
Wyjątkowy przypadek: Swobodny spadek
Ruch swobodnego spadania to ruch obiektu, który przyspiesza wyłącznie pod wpływem grawitacji przy braku oporu powietrza. Obowiązują te same równania kinematyczne; jednak znana jest wartość przyspieszenia w pobliżu powierzchni Ziemi. Wielkość tego przyspieszenia jest często reprezentowana przez sol, gdzie g = 9,8 m/s2. Kierunek tego przyspieszenia jest skierowany w dół, w kierunku powierzchni Ziemi. (Pamiętaj, że niektóre źródła mogą być przybliżone sol jak 10 m/s2, a inne mogą używać wartości z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku).
Strategia rozwiązywania problemów dla problemów kinematycznych w jednym wymiarze:
Naszkicuj diagram sytuacji i wybierz odpowiedni układ współrzędnych. (Odwołaj to x, v i za są wielkościami wektorowymi, więc przypisując wyraźny kierunek dodatni, łatwiej będzie śledzić znaki.)
Napisz listę znanych ilości. (Uważaj, że czasami znane informacje nie są oczywiste. Szukaj wyrażeń takich jak „zaczyna się od odpoczynku”, co oznacza, że vja = 0 lub „uderza w ziemię”, co oznacza, że xfa = 0 itd.)
Określ, jaką ilość chcesz znaleźć w pytaniu. Jaka jest niewiadoma, którą będziesz rozwiązywać?
Wybierz odpowiednie równanie kinematyczne. Będzie to równanie, które zawiera nieznaną ilość wraz ze znanymi ilościami.
Rozwiąż równanie dla nieznanej wielkości, a następnie wprowadź znane wartości i oblicz ostateczną odpowiedź. (Uważaj na jednostki! Czasami będziesz musiał przeliczyć jednostki przed obliczeniem.)
Przykłady kinematyki jednowymiarowej
Przykład 1: Reklama mówi, że samochód sportowy może rozpędzić się od 0 do 60 mil na godzinę w 2,7 sekundy. Jakie jest przyspieszenie tego samochodu w m/s2? Jak daleko pokonuje w ciągu tych 2,7 sekundy?
Rozwiązanie:
(wstaw obraz 2)
Znane i nieznane ilości:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
Pierwsza część pytania wymaga rozwiązania nieznanego przyspieszenia. Tutaj możemy użyć równania #1:
v_f=v_i+at\implikuje a =\frac {(v_f-v_i)} t
Zanim jednak wstawimy liczby, musimy przekonwertować 60 mph na m/s:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0,477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26,8\text{ m/s}
Czyli przyspieszenie jest wtedy:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\podkreślenie{\pogrubienie{9.93}\text{ m/s}^2}
Aby dowiedzieć się, jak daleko zajdzie w tym czasie, możemy użyć równania #2:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 o^2=\frac 1 2 \times 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Przykład 2: Piłka wyrzucana jest z prędkością 15 m/s z wysokości 1,5 m. Jak szybko leci, gdy uderza w ziemię? Jak długo trwa uderzenie w ziemię?
Rozwiązanie:
(Wstaw obraz 3 )
Znane i nieznane ilości:
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Aby rozwiązać pierwszą część, możemy użyć równania #3:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\implikuje v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Wszystko jest już w spójnych jednostkach, więc możemy wstawić wartości:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\ok\pm16\text{ m/s}
Są tu dwa rozwiązania. Który jest prawidłowy? Z naszego wykresu widać, że prędkość końcowa powinna być ujemna. Więc odpowiedź brzmi:
v_f=\podkreślenie{\pogrubienie{-16}\text{ m/s}}
Aby rozwiązać czas, możemy użyć równania #1 lub równania #2. Ponieważ równanie nr 1 jest prostsze w obsłudze, użyjemy go:
v_f=v_i+at\implikuje t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\ok \podkreślenie{\bold{3.2}\text{ s }}
Zauważ, że odpowiedź na pierwszą część tego pytania nie wynosiła 0 m/s. Chociaż prawdą jest, że po wylądowaniu piłka będzie miała zerową prędkość, to pytanie chce wiedzieć, jak szybko się porusza w ułamku sekundy przed uderzeniem. Gdy kula zetknie się z podłożem, nasze równania kinematyczne przestają obowiązywać, ponieważ przyspieszenie nie będzie stałe.
Równania kinematyczne ruchu pocisku (dwa wymiary)
Pocisk to obiekt poruszający się w dwóch wymiarach pod wpływem ziemskiej grawitacji. Jego tor jest parabolą, ponieważ jedyne przyspieszenie to grawitacja. Równania kinematyczne dla ruchu pocisku przybierają nieco inną postać niż równania kinematyczne wymienione powyżej. Wykorzystujemy fakt, że składowe ruchu, które są do siebie prostopadłe – np. pozioma x kierunek i pion tak kierunek – są niezależne.
Strategia rozwiązywania problemów dla problemów kinematyki ruchu pocisku:
Naszkicuj diagram sytuacji. Podobnie jak w przypadku ruchu jednowymiarowego, pomocne jest naszkicowanie scenariusza i wskazanie układu współrzędnych. Zamiast używać etykiet x, v i za dla pozycji, prędkości i przyspieszenia potrzebujemy sposobu opisania ruchu w każdym wymiarze osobno.
W przypadku kierunku poziomego jest najczęściej używany x dla pozycji i vx dla składowej x prędkości (zauważ, że przyspieszenie wynosi 0 w tym kierunku, więc nie potrzebujemy do tego zmiennej). tak kierunek, jest najczęściej używany tak dla pozycji i vtak dla składowej y prędkości. Przyspieszenie może być oznaczone etykietą zatak lub możemy wykorzystać fakt, że wiemy, że przyspieszenie ziemskie wynosi sol w ujemnym kierunku y i użyj go zamiast tego.
Napisz listę znanych i nieznanych wielkości, dzieląc problem na dwie sekcje: ruch pionowy i poziomy. Użyj trygonometrii, aby znaleźć składowe x i y dowolnych wielkości wektorowych, które nie leżą wzdłuż osi. Pomocne może być wymienienie tego w dwóch kolumnach:
(wstaw tabelę 1)
Uwaga: Jeśli prędkość jest podana jako wielkość wraz z kątem, Ѳ, powyżej poziomu, a następnie użyj rozkładu wektorów, vx= vcos (Ѳ) i vtak= vsin (Ѳ).
Możemy rozważyć nasze trzy równania kinematyczne z poprzednich lat i dostosować je odpowiednio do kierunków x i y.
Kierunek X:
x_f=x_i+v_xt
Kierunek Y:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
Zauważ, że przyspieszenie w tak kierunek to -g, jeśli założymy, że góra jest dodatnia. Powszechnym błędnym przekonaniem jest to, że g = -9,8 m/s2, ale to jest niepoprawne; sol samo w sobie jest po prostu wielkością przyspieszenia: g = 9,8 m/s2, więc musimy określić, że przyspieszenie jest ujemne.
Znajdź jedną niewiadomą w jednym z tych wymiarów, a następnie podłącz to, co jest wspólne w obu kierunkach. Chociaż ruch w dwóch wymiarach jest niezależny, odbywa się w tej samej skali czasowej, więc zmienna czasowa jest taka sama w obu wymiarach. (Czas potrzebny piłce na przejście w pionie jest taki sam, jak czas potrzebny na przejście jej w poziomie).
Przykłady kinematyki ruchu pocisku
Przykład 1: Pocisk wystrzeliwany jest poziomo z klifu o wysokości 20 m z prędkością początkową 50 m/s. Jak długo trwa uderzenie w ziemię? Jak daleko od podstawy klifu ląduje?
(wstaw zdjęcie 4)
Znane i nieznane ilości:
(wstawić tabelę 2)
Możemy znaleźć czas potrzebny na uderzenie w ziemię, korzystając z drugiego równania ruchu pionowego:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implikuje t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\podkreślenie{ \bold{2.02}\text{ s} }
Następnie, aby dowiedzieć się, gdzie wyląduje, xfa, możemy użyć równania ruchu poziomego:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\podkreślenie{\pogrubienie{101}\text{ s}}
Przykład 2: Piłka wyrzucana jest z prędkością 100 m/s od poziomu gruntu pod kątem 30 stopni do poziomu. Gdzie ląduje? Kiedy jego prędkość jest najmniejsza? Jaka jest obecnie jego lokalizacja?
(wstaw zdjęcie 5)
Znane i nieznane ilości:
Najpierw musimy rozbić wektor prędkości na składowe:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\ok 86,6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ tekst {m/s}
Nasza tabela ilości to wtedy:
(wstawić tabelę 3)
Najpierw musimy znaleźć czas, w którym piłka jest w locie. Możemy to zrobić za pomocą drugiego równania pionowego_. Zauważ, że używamy symetrii paraboli, aby określić, że końcowe _y prędkość jest ujemną wartością początkową:
Następnie określamy, jak daleko się porusza w x kierunek w tym czasie:
x_f=x_i+v_xt=86,6\times 10,2\w przybliżeniu\podkreślenie{\pogrubienie{883}\text m}
Korzystając z symetrii toru parabolicznego, możemy określić, że prędkość jest najmniejsza w 5,1 s, gdy pocisk znajduje się w szczytowym momencie ruchu, a składowa pionowa prędkości wynosi 0. Składowe x i y jego ruchu w tym czasie to:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 5.1\ok\podkreślenie{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\ok \podkreślenie{\bold{128}\text{ m}}
Wyprowadzenie równań kinematycznych
Równanie nr 1: Jeżeli przyspieszenie jest stałe, to:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Obliczając prędkość, mamy:
v_f=v_i+w
Równanie #2: Średnią prędkość można zapisać na dwa sposoby:
v_{śr}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Jeśli zastąpimy _vfa _z wyrażeniem z równania nr 1 otrzymujemy:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Rozwiązywanie dla xfa daje:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 w^2
Równanie #3: Zacznij od rozwiązania dla t w równaniu #1
v_f=v_i+w \implikuje t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Podłącz to wyrażenie w for t w zależności prędkości średniej:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implikuje \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Zmiana tego wyrażenia daje:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)