W codziennym dyskursie „prędkość” i „prędkość” są często używane zamiennie. W fizyce terminy te mają jednak określone i odrębne znaczenia. „Prędkość” to szybkość przemieszczania się obiektu w przestrzeni, podana tylko liczbą z określonymi jednostkami (często w metrach na sekundę lub milach na godzinę). Z drugiej strony prędkość to prędkość połączona z kierunkiem. Prędkość nazywana jest zatem wielkością skalarną, podczas gdy prędkość jest wielkością wektorową.
Kiedy samochód śmiga po autostradzie lub piłka baseballowa śmiga w powietrzu, prędkość tych obiektów jest mierzona w odniesieniu do ziemi, podczas gdy prędkość zawiera więcej informacji. Na przykład, jeśli jedziesz samochodem jadącym z prędkością 70 mil na godzinę na autostradzie międzystanowej 95 na wschodnim wybrzeżu Stany Zjednoczone, warto również wiedzieć, czy kieruje się na północny wschód w kierunku Bostonu, czy na południe w kierunku Floryda. W przypadku piłki baseballowej możesz chcieć wiedzieć, czy jej współrzędna y zmienia się szybciej niż współrzędna x (piłka w locie), czy też jest odwrotnie (napęd liniowy). Ale co z kręceniem się opon lub rotacją (skręcaniem) piłki baseballowej, gdy samochód i piłka poruszają się w kierunku ostatecznego celu? W przypadku tego rodzaju pytań fizyka oferuje koncepcję
prędkość kątowa.Podstawy ruchu
Rzeczy poruszają się w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej na dwa główne sposoby: translację i rotację. Tłumaczenie to przemieszczenie całego obiektu z jednego miejsca do drugiego, jak samochód jadący z Nowego Jorku do Los Angeles. Z drugiej strony rotacja to cykliczny ruch obiektu wokół stałego punktu. Wiele obiektów, takich jak piłka baseballowa w powyższym przykładzie, wykazuje oba rodzaje ruchu w tym samym czasie; gdy piłka muchowa przelatywała w powietrzu od bazy domowej w kierunku ogrodzenia pola, kręci się również w określonym tempie wokół własnego środka.
Opisywanie tych dwóch rodzajów ruchu traktujemy jako odrębne problemy fizyczne; to znaczy, obliczając odległość, jaką piłka pokonuje w powietrzu na podstawie takich rzeczy, jak początkowy kąt startu i prędkość, z jaką opuszcza nietoperza, możesz zignorować jego obrót, a przy obliczaniu jego obrotu możesz potraktować go jako siedzącego w jednym miejscu na chwilę obecną cele.
Równanie prędkości kątowej
Po pierwsze, kiedy mówisz o czymkolwiek „kątowym”, czy to prędkości, czy innej wielkości fizycznej, zrozum, że ponieważ masz do czynienia z kątami, mówisz o podróżowaniu w kółko lub porcjami tego. Możesz przypomnieć sobie z geometrii lub trygonometrii, że obwód koła to jego średnica pomnożona przez stałą pi, lubπd. (Wartość pi wynosi około 3,14159.) Jest to częściej wyrażane w postaci promienia okręgur, co stanowi połowę średnicy, tworząc obwód2πr.
Ponadto prawdopodobnie nauczyłeś się gdzieś po drodze, że okrąg składa się z 360 stopni (360°). Jeśli przesuniesz się na odległość S po okręgu, to przemieszczenie kątowe θ jest równe S/r. Jeden pełny obrót daje zatem 2πr/r, co pozostawia tylko 2π. Oznacza to, że kąty mniejsze niż 360° mogą być wyrażone w liczbie pi lub innymi słowy w radianach.
Biorąc wszystkie te informacje razem, możesz wyrazić kąty lub części okręgu w jednostkach innych niż stopnie:
360^o = (2\pi)\text{ radiany lub }1\text{ radiany} = \frac{360^o}{2\pi} = 57,3^o
Podczas gdy prędkość liniowa jest wyrażona w długości na jednostkę czasu, prędkość kątowa jest mierzona w radianach na jednostkę czasu, zwykle na sekundę.
Jeśli wiesz, że cząsteczka porusza się po torze kołowym z prędkościąvz dystansurod środka koła, w kierunkuvbędąc zawsze prostopadłą do promienia okręgu, wtedy można zapisać prędkość kątową
\omega =\frac{v}{r}
gdzieωto grecka litera omega. Jednostki prędkości kątowej to radiany na sekundę; możesz też traktować tę jednostkę jako „odwrotność sekund”, ponieważ v/r daje m/s podzielone przez m lub s-1, co oznacza, że radiany są technicznie wielkością niemianowaną.
Równania ruchu obrotowego
Wzór na przyspieszenie kątowe wyprowadza się w ten sam zasadniczy sposób, co wzór na prędkość kątową: jest to jedynie przyspieszenie liniowe w kierunku prostopadłym do promień okręgu (odpowiednik jego przyspieszenia wzdłuż stycznej do toru kołowego w dowolnym punkcie) podzielony przez promień okręgu lub część okręgu, który jest:
Podaje to również:
\alfa = \frac{\omega}{t}
ponieważ dla ruchu okrężnego:
a_t=\frac{\omega r}{t}=\frac{v}{t}
α, jak zapewne wiecie, to grecka litera „alfa”. Indeks dolny „t” oznacza tutaj „styczną”.
Co ciekawe jednak, ruch obrotowy może pochwalić się innym rodzajem przyspieszenia, zwanym przyspieszeniem dośrodkowym („poszukiwanie środka”). Daje to wyrażenie:
a_c=\frac{v^2}{r}
Przyspieszenie to jest skierowane w stronę punktu, wokół którego obraca się przedmiotowy obiekt. Może się to wydawać dziwne, ponieważ obiekt nie zbliża się do tego centralnego punktu, ponieważ promieńrjest naprawiony. Pomyśl o przyspieszeniu dośrodkowym jako o swobodnym spadku, w którym nie ma niebezpieczeństwa uderzenia obiektu o ziemię, ponieważ siła przyciągająca obiekt w jego kierunku (zwykle grawitacja) jest dokładnie równoważony przez przyspieszenie styczne (liniowe) opisane w pierwszym równaniu w tej sekcji. Gdybyzadonie były równezat, obiekt albo odleciał w kosmos, albo wkrótce zderzył się ze środkiem okręgu.
Powiązane ilości i wyrażenia
Chociaż, jak zauważono, prędkość kątowa jest zwykle wyrażana w radianach na sekundę, mogą wystąpić przypadki, w których jest preferowane lub konieczne, aby zamiast tego użyć stopni na sekundę lub odwrotnie, aby zamienić stopnie na radiany przed rozwiązaniem a problem.
Powiedzmy, że powiedziano ci, że źródło światła obraca się o 90° co sekundę ze stałą prędkością. Jaka jest jego prędkość kątowa w radianach?
Najpierw pamiętaj, że radiany 2π = 360° i ustaw proporcję:
\frac{360}{2\pi}=\frac{90}{\omega}\implikuje 360\omega =180\pi\implikuje \omega =\frac{\pi}{2}
Odpowiedź to pół pi radianów na sekundę.
Gdyby powiedziano ci dalej, że wiązka światła ma zasięg 10 metrów, jaka byłaby wierzchołek prędkości liniowej wiązkiv, jego przyspieszenie kątoweαi jego dośrodkowe przyspieszeniezado?
Do rozwiązania dlav, z góry, v = ωr, gdzie ω = π/2 i r = 10m:
\frac{\pi}{2} 10=15.7\text{ m/s}
Znaleźćαzałóżmy, że prędkość kątowa zostanie osiągnięta w ciągu 1 sekundy, a następnie:
\alpha = \frac{\omega}{t}=\frac{\pi /2}{1}=\frac{\pi}{2}\text{ rad/s}^2
(Zauważ, że działa to tylko w przypadku problemów, w których prędkość kątowa jest stała.)
Wreszcie, także z góry,
a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{15.7^2}{10}=24,65\text{ m/s}^2
Prędkość kątowa vs. Prędkość liniowa
Opierając się na poprzednim problemie, wyobraź sobie, że jesteś na bardzo dużej karuzeli, o mało prawdopodobnym promieniu 10 kilometrów (10 000 metrów). Ta karuzela wykonuje jeden pełny obrót co 1 minutę i 40 sekund lub co 100 sekund.
Jedną z konsekwencji różnicy między prędkością kątową, która jest niezależna od odległości od oś obrotu i liniowa prędkość kołowa, która nie jest taka, że dwie osoby doświadczają tego samegoωmoże przechodzić bardzo różne doświadczenia fizyczne. Jeśli zdarzy ci się być 1 metr od środka tej domniemanej, masywnej karuzeli, twoja liniowa (styczna) prędkość wynosi:
v_t=\omega r = \frac{2\pi}{100}(1)=0,0628\text{ m/s}
lub 6,29 cm (mniej niż 3 cale) na sekundę.
Ale jeśli jesteś na krawędzi tego potwora, twoja prędkość liniowa wynosi:
v_t=\omega r = \frac{2\pi}{100}(10000)=628\text{ m/s}
To około 1406 mil na godzinę, szybciej niż kula. Wytrzymać!