Oscylacje są wszędzie wokół nas, od makroskopowego świata wahadeł i wibracji strun po mikroskopijny świat ruchu elektronów w atomach i promieniowania elektromagnetycznego.
Taki ruch, który podlega przewidywalnemu powtarzającemu się wzorowi, jest znany jakoruch okresowylubRuch oscylacyjny, a poznanie wielkości, które pozwalają opisać każdy rodzaj ruchu oscylacyjnego, jest kluczowym krokiem w poznaniu fizyki tych układów.
Jednym szczególnym typem ruchu okresowego, który można łatwo opisać matematycznie, jest:prosty harmonijmy ruch, ale po zrozumieniu kluczowych pojęć łatwo można uogólnić bardziej złożone systemy.
Ruch okresowy
Ruch okresowy, lub po prostu ruch powtarzany, jest definiowany przez trzy kluczowe wielkości: amplitudę, okres i częstotliwość.amplituda ZAdowolnego ruchu okresowego jest maksymalnym przemieszczeniem od położenia równowagi (o którym można pomyśleć jako pozycja „spoczynkowa”, np. pozycja stacjonarna struny lub najniższy punkt na wahadle ścieżka).
Kropka Tdowolnego ruchu oscylacyjnego to czas potrzebny obiektowi na ukończenie jednego „cyklu” ruchu. Na przykład wahadło na zegarze może wykonać jeden pełny cykl co dwie sekundy, a więc musiałoby
T= 2 sekundy.częstotliwość fajest odwrotnością okresu lub innymi słowy liczbą cykli ukończonych na sekundę (lub jednostką czasu,t). W przypadku wahadła na zegarze wykonuje pół cyklu na sekundę, więc mafa= 0,5 Hz, gdzie 1 herc (Hz) oznacza jedną oscylację na sekundę.
Prosty ruch harmoniczny (SHM)
Prosty ruch harmoniczny (SHM) to szczególny przypadek ruchu okresowego, w którym jedyną siłą jest siła wzmacniająca, a ruch to zwykłe oscylacje. Jedną z podstawowych właściwości SHM jest to, że siła przywracająca jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia z położenia równowagi.
Wracając do przykładu szarpanej struny, im dalej wyciągniesz ją z pozycji spoczynkowej, tym szybciej będzie się do niej cofać. Inną ważną właściwością prostego ruchu harmonicznego jest to, że amplituda jest niezależna od częstotliwości i okresu ruchu.
Najprostszym przypadkiem prostego ruchu harmonicznego jest ruch oscylacyjny tylko w jednym kierunku (tj. ruch tam i z powrotem), ale ty potrafi modelować inne rodzaje ruchu (np. ruch kołowy) jako kombinację wielu przypadków prostego ruchu harmonicznego w różnych kierunkach, także.
Niektóre przykłady prostego ruchu harmonicznego obejmują masę na sprężynie podskakującą w górę iw dół w wyniku rozciągania lub ściskania sprężyny, wahadło o małym kącie kołysanie się do przodu i do tyłu pod wpływem grawitacji, a nawet dwuwymiarowe przykłady ruchu okrężnego jak dziecko jeżdżące na karuzeli lub karuzela.
Równania ruchu dla prostych oscylatorów harmonicznych
Jak wskazano w poprzedniej sekcji, istnieje interesująca zależność między ruchem jednostajnym po okręgu a prostym ruchem harmonicznym. Wyobraź sobie punkt na okręgu obracający się ze stałą prędkością na ustalonej osi i że śledziszx-współrzędna tego punktu w całym jego ruchu okrężnym.
Równania opisującexpozycja,xprędkość ixprzyspieszenie tego punktu opisuje ruch prostego oscylatora harmonicznego. Za pomocąx(t) dla pozycji w funkcji czasu,v(t) dla prędkości w funkcji czasu iza(t) dla przyspieszenia w funkcji czasu równania to:
x (t) = A \sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \cos (ωt) \\ a (t) = −Aω^2 \sin (ωt)
Gdzieωto częstotliwość kątowa (odniesiona do zwykłej częstotliwości przezω = 2πfa) w radianach na sekundę i używamy czasutjak w większości równań. Jak stwierdzono w pierwszej sekcji,ZAto amplituda ruchu.
Na podstawie tych definicji można scharakteryzować prosty ruch harmoniczny i ogólnie ruch oscylacyjny. Na przykład z funkcji sinus w równaniach położenia i przyspieszenia można zobaczyć, że te dwa różnią się od siebie, a więc maksymalne przyspieszenie występuje przy maksymalnym przemieszczeniu. Równanie prędkości zależy od cosinusa, który przyjmuje swoją maksymalną (bezwzględną) wartość dokładnie w połowie między maksymalnym przyspieszeniem (lub przemieszczeniem) wxlub -xkierunku, czyli innymi słowy, w pozycji równowagi.
Msza na wiosnę
Prawo Hooke'a opisuje formę prostego ruchu harmonicznego dla sprężyny i stwierdza, że siła przywracająca sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia od równowagi (∆x, czyli zmiana wx) i ma „stałą proporcjonalności” zwaną stałą sprężystości,k. W symbolach równanie stwierdza:
F_{sprężyna} = −k∆x
Znak minus tutaj mówi, że siła jest siłą przywracającą, która działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia i jest mierzona w jednostce siły SI, niuton (N).
Na mszęmina sprężynie ponownie nazywa się maksymalne przemieszczenie (amplituda)ZA, iωdefiniuje się jako:
ω = \sqrt{\frac{k}{m}}
To równanie może być używane z równaniem pozycji dla prostego ruchu harmonicznego (w celu znalezienia położenia masy w dowolnym momencie), a następnie podstawione w miejsce ∆xw prawie Hooke'a do określenia wielkości siły przywracającej w dowolnym momenciet. Całkowity związek siły przywracającej byłby następujący:
F_{sprężyna} = −k A \sin \bigg(\sqrt{\frac{k}{m}} t\bigg)
Wahadło o małym kącie
W przypadku wahadła o małym kącie siła przywracająca jest proporcjonalna do maksymalnego przemieszczenia kątowego (tj. zmiany położenia równowagi wyrażonej jako kąt). Tutaj amplitudaZAjest maksymalnym kątem wahadła iωdefiniuje się jako:
ω = \sqrt{\frac{g}{L}}
Gdziesol= 9,81 m/s2 iLto długość wahadła. Ponownie, można to zastąpić równaniami ruchu dla prostego ruchu harmonicznego, z wyjątkiem tego, że należy zauważyć, żexw tym przypadku odwołuje się dokątowyprzemieszczenie zamiast liniowego przemieszczenia wkierunek x. Czasami jest to oznaczone symbolem teta (θ) w miejscexw tym przypadku.
Oscylacje tłumione
W wielu przypadkach w fizyce komplikacje, takie jak tarcie, są pomijane, aby uprościć obliczenia w sytuacjach, w których prawdopodobnie i tak byłyby nieistotne. Istnieją wyrażenia, których możesz użyć, jeśli chcesz obliczyć przypadek, w którym tarcie staje się ważne, ale kluczową kwestią jest: pamiętaj, że po uwzględnieniu tarcia oscylacje stają się „tłumione”, co oznacza, że ich amplituda zmniejsza się z każdym oscylacja. Jednak okres i częstotliwość oscylacji pozostają niezmienione nawet w obecności tarcia.
Wymuszone oscylacje i rezonans
Rezonans jest w zasadzie przeciwieństwem tłumionych oscylacji. Wszystkie obiekty mają naturalną częstotliwość, z którą „lubią” oscylować, a jeśli oscylacja jest wymuszona lub napędzana z tą częstotliwością (przez siłę okresową), amplituda ruchu wzrośnie. Częstotliwość, przy której występuje rezonans, nazywana jest częstotliwością rezonansową i ogólnie wszystkie obiekty mają swoją własną częstotliwość rezonansową, która zależy od ich właściwości fizycznych.
Podobnie jak w przypadku tłumienia, obliczanie ruchu w takich okolicznościach staje się bardziej skomplikowane, ale jest to możliwe, jeśli rozwiązujesz problem, który tego wymaga. Jednak zrozumienie kluczowych aspektów zachowania obiektu w takich sytuacjach wystarczy, aby: do większości celów, zwłaszcza jeśli po raz pierwszy uczysz się fizyki oscylacje!