Odległość euklidesowa to odległość między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń euklidesowa została pierwotnie wymyślona przez greckiego matematyka Euklidesa około 300 roku p.n.e. badać relacje między kątami i odległościami. Ten system geometrii jest nadal w użyciu i jest to system, którego najczęściej uczą się uczniowie szkół średnich. Geometria euklidesowa dotyczy w szczególności przestrzeni dwu- i trójwymiarowych. Można go jednak łatwo uogólnić na wymiary wyższego rzędu.
Oblicz odległość euklidesową dla jednego wymiaru. Odległość między dwoma punktami w jednym wymiarze to po prostu wartość bezwzględna różnicy między ich współrzędnymi. Matematycznie jest to pokazane jako |p1 - q1| gdzie p1 jest pierwszą współrzędną pierwszego punktu, a q1 jest pierwszą współrzędną drugiego punktu. Używamy wartości bezwzględnej tej różnicy, ponieważ zwykle uważa się, że odległość ma tylko wartość nieujemną.
Weź dwa punkty P i Q w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Opiszemy P współrzędnymi (p1,p2) i Q współrzędnymi (q1,q2). Teraz skonstruuj odcinek liniowy z końcami P i Q. Ten odcinek linii utworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Rozszerzając wyniki uzyskane w kroku 1, zauważamy, że długości ramion tego trójkąta są podane przez |p1 - q1| oraz |p2 - q2|. Odległość między dwoma punktami zostanie wtedy podana jako długość przeciwprostokątnej.
Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przeciwprostokątnej w kroku 2. Twierdzenie to mówi, że c^2 = a^2 + b^2 gdzie c jest długością przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, a a, b są długościami pozostałych dwóch ramion. To daje nam c = (a^2 + b^2)^(1/2) = ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2). Odległość między 2 punktami P = (p1,p2) i Q = (q1,q2) w przestrzeni dwuwymiarowej wynosi zatem ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2).
Rozszerz wyniki kroku 3 do przestrzeni trójwymiarowej. Odległość między punktami P = (p1, p2, p3) i Q = (q1,q2,q3) można wtedy podać jako ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 + (p3-q3) ^2)^(1/2).
Uogólnij rozwiązanie w kroku 4 dla odległości między dwoma punktami P = (p1, p2,..., pn) i Q = (q1,q2,..., qn) w n wymiarach. To ogólne rozwiązanie można podać jako ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 +... + (pn-qn)^2)^(1/2).