I en geometrisk sekvens er hvert begrep lik det forrige begrepet ganger en konstant, ikke-null multiplikator kalt den felles faktoren. Geometriske sekvenser kan ha et fast antall ord, eller de kan være uendelige. I begge tilfeller kan vilkårene for en geometrisk sekvens raskt bli veldig store, veldig negative eller veldig nær null. Sammenlignet med aritmetiske sekvenser, endres vilkårene mye raskere, men mens det er uendelig aritmetikk sekvenser øker eller reduseres jevnt, geometriske sekvenser kan nærme seg null, avhengig av det vanlige faktor.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En geometrisk sekvens er en ordnet liste med tall der hver term er produktet av forrige periode og en fast, ikke-null multiplikator kalt den felles faktoren. Hvert begrep i en geometrisk sekvens er det geometriske gjennomsnittet av begrepene som følger og følger det. Uendelige geometriske sekvenser med en felles faktor mellom +1 og -1 nærmer seg grensen på null som termer blir lagt til mens sekvenser med en felles faktor større enn +1 eller mindre enn −1 går til pluss eller minus evighet.
Hvordan geometriske sekvenser fungerer
En geometrisk sekvens defineres av startnummereten, den vanlige faktorenrog antall termerS. Den tilsvarende generelle formen for en geometrisk sekvens er:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Den generelle formelen for begrepetnav en geometrisk sekvens (dvs. ethvert begrep i den sekvensen) er:
a_n = ar ^ {n-1}
Den rekursive formelen, som definerer et begrep med hensyn til forrige begrep, er:
a_n = ra_ {n-1}
Et eksempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, felles faktor 2 og åtte termer er 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Beregning av den siste termen ved hjelp av det generelle skjemaet som er oppført ovenfor, er begrepet:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Ved å bruke den generelle formelen for termin 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Hvis du vil bruke den rekursive formelen for termin 5, er termin 4 = 24, og a5 er lik:
a_5 = 2 × 24 = 48
Egenskaper for geometriske sekvenser
Geometriske sekvenser har spesielle egenskaper når det gjelder det geometriske gjennomsnittet. Det geometriske gjennomsnittet av to tall er kvadratroten til produktet. For eksempel er det geometriske gjennomsnittet 5 og 20 10 fordi produktet 5 × 20 = 100 og kvadratroten på 100 er 10.
I geometriske sekvenser er hvert begrep det geometriske gjennomsnittet av begrepet før det og begrepet etter det. For eksempel i sekvensen 3, 6, 12... over er 6 det geometriske gjennomsnittet av 3 og 12, 12 er det geometriske gjennomsnittet av 6 og 24, og 24 er det geometriske gjennomsnittet av 12 og 48.
Andre egenskaper ved geometriske sekvenser avhenger av den felles faktoren. Hvis den vanlige faktorenrer større enn 1, vil uendelige geometriske sekvenser nærme seg uendelig uendelig. Hvisrer mellom 0 og 1, vil sekvensene nærme seg null. Hvisrer mellom null og −1, vil sekvensene nærme seg null, men vilkårene vil veksle mellom positive og negative verdier. Hvisrer mindre enn -1, vil vilkårene trene mot både positiv og negativ uendelig når de veksler mellom positive og negative verdier.
Geometriske sekvenser og deres egenskaper er spesielt nyttige i vitenskapelige og matematiske modeller av virkelige prosesser. Bruk av spesifikke sekvenser kan hjelpe til med studiet av populasjoner som vokser med fast rente over gitte tidsperioder eller investeringer som tjener renter. De generelle og rekursive formlene gjør det mulig å forutsi nøyaktige verdier i fremtiden basert på utgangspunktet og den felles faktoren.