I matematikken oppstår det noen ganger behovet for å bevise om funksjoner er avhengige eller uavhengige av hverandre i lineær forstand. Hvis du har to funksjoner som er avhengige av linjene, vil grafning av ligningene til disse funksjonene resultere i punkter som overlapper hverandre. Funksjoner med uavhengige ligninger overlapper ikke når de er tegnet. En metode for å bestemme om funksjoner er avhengige eller uavhengige, er å beregne Wronskian for funksjonene.
Hva er en Wronskian?
Wronskian av to eller flere funksjoner er det som er kjent som en determinant, som er en spesiell funksjon som brukes til å sammenligne matematiske objekter og bevise visse fakta om dem. I tilfelle av Wronskian brukes determinanten for å bevise avhengighet eller uavhengighet mellom to eller flere lineære funksjoner.
Wronskian Matrix
For å beregne Wronskian for lineære funksjoner, må funksjonene løses for den samme verdien i en matrise som inneholder både funksjonene og deres derivater. Et eksempel på dette er
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
som gir Wronskian to funksjoner (fogg) som løses for en enkelt verdi som er større enn null (t); du kan se de to funksjonenef(t) ogg(t) i den øverste raden av matrisen, og derivatenef'(t) ogg'(t) i nederste rad. Merk at Wronskian også kan brukes til større sett. Hvis du for eksempel tester tre funksjoner med en Wronskian, kan du fylle ut en matrise med funksjonene og derivatene tilf(t), g(t) ogh(t).
Løse Wronskian
Når du har funksjonene ordnet i en matrise, kryss-multipliser hver funksjon mot derivatet av den andre funksjonen og trekk den første verdien fra den andre. For eksemplet ovenfor gir dette deg
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Hvis det endelige svaret er lik null, viser dette at de to funksjonene er avhengige. Hvis svaret er noe annet enn null, er funksjonene uavhengige.
Wronskian Eksempel
For å gi deg en bedre ide om hvordan dette fungerer, antar du det
f (t) = x + 3 \ text {og} g (t) = x - 2
Bruke en verdi påt= 1, kan du løse funksjonene som
f (1) = 4 \ text {og} g (1) = -1
Siden dette er grunnleggende lineære funksjoner med en helling på 1, er derivatene av beggef(t) ogg(t) lik 1. Kryss-multiplisere verdiene dine gir til
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
som gir et endelig resultat på 5. Selv om de lineære funksjonene begge har samme skråning, er de uavhengige fordi de ikke overlapper hverandre. Hvisf(t) hadde produsert et resultat av −1 i stedet for 4, ville Wronskian i stedet ha gitt et resultat på null for å indikere avhengighet.