Elementær algebra er en av hovedgrenene i matematikk. Algebra introduserer begrepet å bruke variabler for å representere tall og definerer reglene for hvordan man skal manipulere ligninger som inneholder disse variablene. Variabler er viktige fordi de tillater formulering av generaliserte matematiske lover og tillater innføring av ukjente tall i ligninger. Det er disse ukjente tallene som er fokus for algebraproblemer, som vanligvis ber deg om å løse den angitte variabelen. De "standard" variablene i algebra blir ofte representert som x og y.
Løse lineære og parabolske ligninger
Flytt eventuelle konstante verdier fra siden av ligningen med variabelen til den andre siden av likhetstegnet. For eksempel for ligningen
4x ^ 2 + 9 = 16
trekk 9 fra begge sider av ligningen for å fjerne 9 fra den variable siden:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
som forenkler til
4x ^ 2 = 7
Del ligningen med koeffisienten til den variable termen. For eksempel,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {then} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
som resulterer i
x ^ 2 = 1,75
Ta riktig rot av ligningen for å fjerne eksponenten til variabelen. For eksempel,
\ text {if} x ^ 2 = 1,75 \ text {then} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1.75}
som resulterer i
x = 1,32
Løs for den indikerte variabelen med radikaler
Isoler uttrykket som inneholder variabelen ved å bruke den aktuelle aritmetiske metoden for å avbryte konstanten på siden av variabelen. For eksempel hvis
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
du vil isolere variabelen ved hjelp av subtraksjon:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Løft begge sider av ligningen til kraften til roten til variabelen for å kvitte roten med variabelen. For eksempel,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ text {deretter} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
som gir deg
x + 27 = 16
Isoler variabelen ved å bruke den aktuelle aritmetiske metoden for å avbryte konstanten på siden av variabelen. For eksempel hvis
x + 27 = 16
ved å bruke subtraksjon:
x = 16 - 27 = -11
Løse kvadratiske ligninger
Sett ligningen lik null. For eksempel for ligningen
2x ^ 2 - x = 1
trekk 1 fra begge sider for å sette ligningen til null
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Faktor eller fullfør kvadratiske kvadrat, avhengig av hva som er enklest. For eksempel for ligningen
2x ^ 2 - x - 1 = 0
det er lettest å faktorere slik:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ tekst {blir} (2x + 1) (x - 1) = 0
Løs ligningen for variabelen. For eksempel hvis
(2x + 1) (x - 1) = 0
da er ligningen lik null når:
2x + 1 = 0
Impliserer at
2x = -1 \ text {, så} x = - \ frac {1} {2}
eller når
\ text {når} x - 1 = 0 \ tekst {, får du} x = 1
Dette er løsningene på den kvadratiske ligningen.
En ligningsløsning for brøker
Faktor hver nevner. For eksempel,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
kan faktureres for å bli:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Multipliser hver side av ligningen med det minst vanlige multiplumet av nevnerne. Det minst vanlige mangfoldet er uttrykket som hver nevner kan dele jevnt i. For ligningen
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
det minst vanlige mangfoldet er (x − 3)(x+ 3). Så,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
blir til
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Avbryt vilkår og løs forx. For eksempel kansellering av vilkår for ligningen
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
gir:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Fører til
2x = 10 \ tekst {, og} x = 5
Håndterer eksponentielle ligninger
Isoler det eksponensielle uttrykket ved å avbryte konstante vilkår. For eksempel,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
blir til
\ begin {justert} 100 × (14 ^ x) + 6-6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ slutt {justert}
Avbryt koeffisienten til variabelen ved å dele begge sider med koeffisienten. For eksempel,
100 × (14 ^ x) = 4
blir til
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, \\ 14 ^ x = 0,04
Ta den naturlige loggen til ligningen for å få ned eksponenten som inneholder variabelen. For eksempel,
14 ^ x = 0,04
kan skrives som (ved hjelp av noen egenskaper for logaritmer):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0,04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Løs ligningen for variabelen. For eksempel,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ text {blir} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
En løsning for logaritmiske ligninger
Isoler den naturlige loggen til variabelen. For eksempel ligningen
2 \ ln (3x) = 4 \ text {blir} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Konverter loggligningen til en eksponentiell ligning ved å heve loggen til en eksponent for riktig base. For eksempel,
\ ln (3x) = 2
blir til:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Løs ligningen for variabelen. For eksempel,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
blir til
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2,46