Hvordan faktorisere polynomer med brøker

Den beste måten å faktorisere polynomer med brøker begynner med å redusere brøkene til enklere termer. Polynomer representerer algebraiske uttrykk med to eller flere termer, nærmere bestemt summen av flere termer som har forskjellige uttrykk for samme variabel. Strategier som hjelper til med å forenkle polynomer, innebærer å beregne den største fellesfaktoren, etterfulgt av å gruppere ligningen i de laveste termer. Det samme gjelder selv når man løser polynomer med fraksjoner.

Du har tre måter å vise uttrykket polynomer med brøker på. Den første tolkningen adresserer polynomer med fraksjoner for koeffisienter. I algebra er koeffisienten definert som antall eller konstant funnet før en variabel. Med andre ord, koeffisientene for 7_a_, b og (1/3)c er henholdsvis 7, 1 og (1/3). To eksempler på polynomer med fraksjonskoeffisienter vil derfor være:

Den andre tolkningen av "polynomer med fraksjoner" refererer til polynomer som eksisterer i brøk eller forhold skjema med en teller og en nevner, der tellerpolynomet er delt med nevneren polynom. For eksempel er denne andre tolkningen illustrert av:

Den tredje tolkningen gjelder i mellomtiden delvis nedbrytning av fraksjonen, også kjent som utvidelse av delvis brøk. Noen ganger er polynomfraksjoner komplekse slik at når de blir "spaltet" eller "nedbrutt" til enklere vilkår, de presenteres som summer, forskjeller, produkter eller kvotienter av polynom brøker. For å illustrere den komplekse polynomfraksjonen av:

blir evaluert gjennom delvis fraksjon nedbrytning, som for øvrig involverer faktorisering av polynomer, for å være i sin enkleste form:

Faktorer representerer to tall som når de multipliseres sammen tilsvarer et tredje tall. I algebraiske ligninger avgjør faktorering hvilke to størrelser som ble multiplisert sammen for å komme til et gitt polynom. Distribusjonsegenskapen følges sterkt når man multipliserer polynomer. Distribusjonsegenskapen tillater i hovedsak en å multiplisere en sum ved å multiplisere hvert tall individuelt før produktene legges til. Observer for eksempel hvordan fordelingsegenskapen brukes i eksemplet med:

Men hvis to binomaler multipliseres sammen, brukes en utvidet versjon av distribusjonsegenskapen via FOIL-metoden. FOIL representerer forkortelsen for første, ytre, indre og siste termer som multipliseres. Derfor innebærer factoring av polynomer å utføre FOIL-metoden bakover. Ta de to nevnte eksemplene med polynomene som inneholder fraksjonskoeffisienter. Å utføre FOIL-metoden bakover på hver av dem resulterer i faktorene til

for det første polynomet, og faktorene til

for det andre polynomet.

Eksempel:

Eksempel:

Ovenfra involverer polynomfraksjoner et polynom i telleren delt med et polynom i nevneren. Evaluering av polynomfraksjoner nødvendiggjør dermed faktorisering av tellerpolynomet først etterfulgt av faktorisering av nevnerpolynomet. Det hjelper å finne den største fellesfaktoren, eller GCF, mellom teller og nevner. Når GCF for både teller og nevner er funnet, kansellerer den, og til slutt reduserer hele ligningen i forenklede termer. Tenk på det opprinnelige polynomfraksjonseksemplet ovenfor

Å faktorisere teller- og nevnerpolynomene for å finne GCF-resultatene i:

med GCF å være (x + 2).

GCF i både teller og nevner avbryter hverandre for å gi det endelige svaret i de laveste ordene av (x + 5) ÷ (x + 9).

Eksempel:

Delvis brøknedbrytning, som innebærer faktorisering, er en måte å omskrive komplekse polynomfraksjonsligninger til enklere form. Gjennomgå eksemplet ovenfra av

Forenkle nevneren for å få:

Deretter omorganiserer du telleren slik at den begynner å ha GCF-ene til stede i nevneren, for å få:

For venstre tillegg er GCF (x - 1), mens GCF er for det rette tillegget (x + 2), som avbryter i teller og nevner, som vist i:

Når GCF-ene avbryter, er det endelige forenklede svaret således:

som løsningen av den delvise fraksjonens nedbrytning.