Conservation of Momentum: Definisjon, ligning og eksempler

Alle som noen gang har spilt biljard, er kjent med loven om bevaring av momentum, enten de innser det eller ikke.

Loven om bevaring av momentum er grunnleggende for å forstå og forutsi hva som skjer når objekter samhandler eller kolliderer. Denne loven forutsier bevegelsene til biljardballer og er det som avgjør om den åtte ballen kommer i hjørnelommen eller ikke.

Momentum er definert som produktet av et objekts masse og hastighet. I ligningsform blir dette ofte skrevet somp = mv​.

Det er en vektormengde, noe som betyr at den har en retning knyttet til den. Retningen til et objekts momentvektor er i samme retning som hastighetsvektoren.

Momentet til et isolert system er summen av momentet til hvert enkelt objekt i det systemet. Et isolert system er et system av samspillende objekter som ikke samhandler på noen netto måte med noe annet. Det er med andre ord ingen netto ekstern kraft som virker på systemet.

Å studere total fart i et isolert system er viktig fordi det lar deg forutsi hva som vil skje med objektene i systemet under kollisjoner og interaksjoner.

Før du begynner å forstå loven om bevaring av momentum, er det viktig å forstå hva som menes med en "bevart mengde."

Å bevare noe betyr å forhindre sløsing eller tap av det på en eller annen måte. I fysikk sies det at en mengde er bevart hvis den forblir konstant. Du har kanskje hørt uttrykket når det gjelder bevaring av energi, som er forestillingen om at energi verken kan skapes eller ødelegges, men bare endrer form. Derfor forblir den totale mengden konstant.

Når vi snakker om bevaring av momentum, snakker vi om den totale mengden momentum som forblir konstant. Dette momentet kan overføres fra ett objekt til et annet i et isolert system og fortsatt betraktes som konservert hvis det totale momentet i det systemet ikke endres.

Loven om bevaring av momentum kan avledes fra Newtons andre bevegelseslov. Husk at denne loven relaterte netto kraft, masse og akselerasjon av et objekt somF_nett = ma​.

Trikset her er å tenke på denne nettokraften som å virke på et system som helhet. Loven om bevaring av momentum gjelder når nettokraften på systemet er 0. Dette betyr at for hvert objekt i systemet, må de eneste kreftene som kan utøves på det komme fra andre objekter i systemet, ellers annulleres på en eller annen måte.

Eksterne krefter kan være friksjon, tyngdekraft eller luftmotstand. Disse må enten ikke handle, eller de må motvirkes for å gjøre nettokraften på systemet 0.

Du kan begynne avledningen med uttalelsenF_nett = ma = 0​.

Demi dette tilfellet er massen til hele systemet. Akselerasjonen det er snakk om er netto akselerasjon av systemet, som refererer til akselerasjonen av massesenteret til systemet (massesenteret er den gjennomsnittlige plasseringen av det totale systemet masse.)

For at nettokraften skal være 0, må akselerasjonen også være 0. Siden akselerasjon er endringen i hastighet over tid, innebærer dette at hastigheten ikke må endres. Med andre ord er hastigheten konstant. Derfor får vi uttalelsen om atmv_cm= konstant.

Hvorv_cmer hastigheten til massesenteret gitt av formelen:

Så nå reduseres uttalelsen til:

Dette er ligningen som beskriver bevaring av momentum. Hvert begrep er momentet til et av objektene i systemet, og summen av alle momenta må være konstant. En annen måte å uttrykke dette på er å si:

Hvor abonnementetJegrefererer til innledende verdier ogftil endelige verdier, som vanligvis oppstår før og da etter en slags interaksjon, for eksempel en kollisjon mellom objekter i et system.

Grunnen til at loven om bevaring av momentum er viktig er at den kan tillate deg å løse et ukjent slutthastighet eller lignende for gjenstander i et isolert system som kan kollidere med hver annen.

Det er to hovedmåter som en slik kollisjon kan oppstå: elastisk eller uelastisk.

En perfekt elastisk kollisjon er en kollisjon som kolliderende gjenstander spretter av hverandre. Denne typen kollisjon er preget av bevaring av kinetisk energi. Den kinetiske energien til et objekt er gitt av formelen:

Hvis kinetisk energi er bevart, må summen av kinetiske energier til alle gjenstandene i systemet forbli konstant både før og etter kollisjoner. Ved å bruke bevaring av kinetisk energi sammen med bevaring av momentum kan du løse mer enn en endelig eller innledende hastighet i et kolliderende system.

En perfekt uelastisk kollisjon er en der når to gjenstander kolliderer, holder seg til hverandre og beveger seg som en entallsmasse etterpå. Dette kan også forenkle et problem fordi du bare trenger å bestemme en endelig hastighet i stedet for to.

Mens momentum er bevart i begge typer kollisjoner, bevares kinetisk energi bare i en elastisk kollisjon. De fleste kollisjoner i virkeligheten er verken perfekt elastiske eller perfekt uelastiske, men ligger et sted imellom.

Det som ble beskrevet i forrige avsnitt er bevaring av lineær momentum. Det er en annen type momentum som gjelder rotasjonsbevegelse som kalles vinkelmoment.

Akkurat som med lineær momentum, bevares også vinkelmoment. Vinkelmoment avhenger av et objekts masse så vel som hvor langt massen er fra en rotasjonsakse.

Når en kunstløper spinner, vil du se dem rotere raskere når de bringer armene nærmere kroppen. Dette er fordi vinkelmomentet deres bare er bevart hvis rotasjonshastigheten øker i forhold til hvor nær de bringer armene til sentrum.

​Eksempel 1:To biljardkuler med like masse ruller mot hverandre. Den ene kjører med en starthastighet på 2 m / s og den andre kjører med en hastighet på 4 m / s. Hvis kollisjonen deres er helt elastisk, hva er den endelige hastigheten til hver ball?

​Løsning 1:Det er viktig når du løser dette problemet å velge et koordinatsystem. Siden alt skjer i en rett linje, kan du bestemme at bevegelse til høyre er positiv og bevegelse til venstre er negativ. Anta at den første ballen kjører til høyre ved 2m / s. Hastigheten til den andre ballen er da -4m / s.

Skriv et uttrykk for systemets totale momentum før kollisjonen, samt systemets totale kinetiske energi før kollisjonen:

Plugg inn verdier for å få et uttrykk for hver:

Vær oppmerksom på at siden du ikke fikk verdier for massene, forblir de ukjente, selv om begge massene var de samme, noe som muliggjorde en viss forenkling.

Etter kollisjonen er uttrykkene for momentum og kinetisk energi:

Ved å sette de opprinnelige verdiene lik de endelige verdiene for hver, kan du avbryte massene. Du sitter da igjen med et system med to ligninger og to ukjente størrelser:

Å løse systemet algebraisk gir følgende løsninger:

Du vil merke at fordi de to kulene hadde samme masse, byttet de i hovedsak hastigheter.

​Eksempel 2:En 1200 kg bil som kjører øst i 20 miles i timen, kolliderer frontalt med en 3.000 kg lastebil som kjører vest i 15 miles i timen. De to kjøretøyene holder sammen når de kolliderer. Med hvilken endelige hastighet beveger de seg?

​Løsning 2:En ting å merke seg om dette spesielle problemet er enhetene. SI-enhetene for momentum er kg⋅m / s. Imidlertid får du masse i kg og hastigheter i miles per time. Merk at så lenge alle hastigheter er i enhetlige enheter, er det ikke behov for konvertering. Når du løser den endelige hastigheten, vil svaret være i miles per time.

Systemets innledende momentum kan uttrykkes som:

Systemets endelige momentum kan uttrykkes som:

Loven om bevaring av momentum forteller deg at disse innledende og endelige verdiene skal være like. Du kan løse den endelige hastigheten ved å sette startmomentet lik sluttmomentet, og løse den endelige hastigheten som følger:

​Eksempel 3:Vis at kinetisk energi ikke ble bevart i det forrige spørsmålet som involverte den uelastiske kollisjonen mellom bilen og lastebilen.

​Løsning 3:Den opprinnelige kinetiske energien til systemet var:

Systemets endelige kinetiske energi var:

Fordi den opprinnelige totale kinetiske energien og den totale endelige kinetiske energien ikke er lik, kan du konkludere med at kinetisk energi ikke ble bevart.