Produktet av to skalære mengder er en skalar, og produktet av en skalar med en vektor er en vektor, men hva med produktet av to vektorer? Er det en skalar, eller en annen vektor? Svaret er, det kan være det!
Det er to måter å ta et vektorprodukt på. Den ene er ved å ta prikkproduktet deres, som gir en skalar, og det andre er å ta deres kryssprodukt, som gir en annen vektor. Hvilket produkt som brukes, avhenger av det spesielle scenariet og hvilken mengde du prøver å finne.
Tverrproduktet av to vektorer gir en tredje vektor som peker i retningen vinkelrett på planet som er spent av de to vektorene, og hvis størrelse avhenger av den relative vinkelrett på de to vektorer.
Definisjon av kryssproduktet av vektorer
Vi definerer først kryssproduktet til enhetsvektoreneJeg, jogk(vektorer med størrelse 1 som peker ix-, y-ogz-komponentretninger for det standard kartesiske koordinatsystemet) som følger:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Merk at disse forholdene er antikommutative, det vil si hvis vi bytter rekkefølgen på vektorene vi tar produktet av, vender det tegnet på produktet:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Vi kan bruke definisjonene ovenfor for å utlede formelen for kryssproduktet til to tredimensjonale vektorer. Skriv først vektorerenogbsom følger:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Ved å multiplisere de to vektorene får vi:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ fet {k}) \\ = a_xb_x \ fet {i \ ganger i} + a_xb_y \ fet {i \ ganger j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ ganger i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ fet {k \ ganger k}
Deretter forenkler dette å bruke enhetsvektorforholdene ovenfor:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ fet {k}
(Vær oppmerksom på at begrepene hvis kryssprodukt var 0, er begrepene som danner punktproduktet (også kalt skalarproduktet)!Dette er ikke tilfeldig.)
Med andre ord:
\ bold {a \ ganger b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ tekst {hvor} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Korsproduktets størrelse kan bli funnet ved bruk av Pythagoras teorem.
Tverrproduktformelen kan også uttrykkes som determinanten for følgende matrise:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrise} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begynn {matrise} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Where the determinant} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = annonse - bc
En annen, ofte veldig praktisk formulering av kryssproduktet er (se slutten av denne artikkelen for avledningen):
\ fet {a × b} = | \ fet {a} | | \ fet {b} | \ sin (θ) \ fet {n}
Hvor:
- |en| er størrelsen (lengden) på vektorenen
- |b| er størrelsen (lengden) på vektorenb
- θ er vinkelen mellom enog b
- ner enhetsvektoren vinkelrett på planet som spennes av enogb
Vinkelrette vektorer og høyre regel
I beskrivelsen av tverrproduktet er det oppgitt at tverrproduktets retning er vinkelrett på planet som er spent av vektorenog vektorb. Men dette etterlater to muligheter: Det kan pekeut avflyet ellerinn iflyet spent av disse vektorene. Virkeligheten er at vi faktisk kan velge enten så lenge vi er konsistente. Den favoriserte retningen valgt av matematikere og forskere, bestemmes imidlertid av noe som kalleshøyre regel.
For å bestemme retningen til et vektorkorsprodukt ved hjelp av høyre håndregel, pek pekefingeren på høyre hånd i retning av vektorenenog langfingeren i retning av vektorenb. Tommelen peker så i retning av kryssproduktvektoren.
Noen ganger er disse instruksjonene vanskelige å skildre på et flatt papir, så ofte blir følgende konvensjoner laget:
For å indikere en vektor som går inn på siden, tegner vi en sirkel med en X i den (tenk på dette som representerer halefjærene på enden av pilen når du ser på den bakfra). For å indikere en vektor som går i motsatt retning ut av siden, tegner vi en sirkel med en prikk i den (tenk på dette som pilspissen som peker ut av siden).
•••na
Egenskaper for kryssproduktet
Følgende er flere egenskaper av vektorkryssproduktet:
\ # \ text {1. Hvis} \ bold {a} \ text {og} \ bold {b} \ text {er parallelle, så er} \ bold {a \ ganger b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Geometrisk tolkning av kryssproduktet
Når vektorkryssproduktet er formulert i form av sin (θ), kan dets størrelse tolkes som å representere arealet av parallellogrammet som spennes av de to vektorene. Dette er fordi fora × b, |b| sin (θ) = høyden på parallellogrammet, som vist, og |en| er basen.
•••Dana Chen | Vitenskap
Størrelsen på det tredobbelte produkteta (b × c) kan i sin tur tolkes som volumet av parallellpipet spant av vektoreneen, bogc. Dette er fordi(b × c) gir en vektor hvis størrelse er området som er spennt av vektorbog vektorc, og hvis retning er vinkelrett på dette området. Tar prikkproduktet av vektorenenmed dette resultatet multipliserer i hovedsak basisarealet ganger høyden.
Eksempler
Eksempel 1:Kraften på en ladningspartikkelqbeveger seg med hastighetvi magnetfeltBer gitt av:
\ fet {F} = q \ fet {v \ ganger B}
Anta at et elektron passerer gjennom et magnetfelt på 0,005 T med hastigheten 2 × 107 m / s. Hvis den passerer vinkelrett gjennom feltet, er kraften den vil føle:
\ fet {F} = q \ fet {v \ ganger B} = qvB \ sin (\ theta) \ fet {n} = (-1,602 \ ganger 10 ^ {19}) (2 \ ganger 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ fet {n} = -1,602 \ ganger 10 ^ {- 14} \ tekst {N} \ fet {n}
Imidlertid, hvis elektronet beveger seg parallelt med feltet, så θ = 0, og sin (0) = 0, noe som gjør kraften 0.
Merk at for elektronen som går vinkelrett gjennom feltet, vil denne kraften få den til å bevege seg i en sirkulær bane. Radien til denne sirkulære banen kan bli funnet ved å sette magnetkraften lik sentripetalkraften og løse radiusr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ innebærer r = \ frac {mv} {qB}
For eksemplet ovenfor gir innkopling av tallene en radius på ca. 0,0227 m.
Eksempel 2:Det fysiske mengdemomentet beregnes også ved hjelp av et vektorkorsprodukt. Hvis en styrkeFpåføres et objekt i posisjonrfra dreiepunktet, dreiemomentetτom dreiepunktet er gitt av:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ ganger F}
Tenk på situasjonen der en 7 N kraft påføres i en vinkel mot enden av en 0,75 stang hvis andre ende er festet til en sving. Vinkelen mellomrogFer 70 grader, så dreiemomentet kan beregnes:
\ fet {\ tau} = \ fet {r \ ganger F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ fet {n} = 4,93 \ tekst {Nm} \ fet { n}
Dreiemomentets retning,n, er funnet via høyre regel. Hvis det brukes på bildet ovenfor, gir dette en retning som kommer ut av siden eller skjermen. Generelt vil et dreiemoment på et objekt ønske å få objektet til å rotere. Momentvektoren vil alltid ligge i samme retning som rotasjonsaksen.
En forenklet høyrehåndsregel kan faktisk brukes i denne situasjonen: Bruk høyre hånd til å "gripe" rotasjonsaksen i slik at fingrene krøller seg rundt i den retning det tilhørende dreiemomentet vil ønske å få objektet til å rotere. Tommelen peker da i retning av momentvektoren.
Utledning av kryssproduktformel
\ text {Her vil vi vise hvordan formelen på tvers av produktet} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ fet {b} | \ sin (θ) \ fet {n} \ tekst {kan utledes.}
Tenk på to vektorerenogbmed vinkelθmellom dem. En høyre trekant kan dannes ved å tegne en linje fra tuppen av vektorenentil et vinkelrett kontaktpunkt på vektorenb.
Ved hjelp av Pythagoras teorem får vi følgende forhold:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ fet {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {is the projection of vector} \ bold {a} \ tekst {på vektor} \ fet {b}.
Forenkling av uttrykket litt får vi følgende:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Multipliser deretter begge sider av ligningen med |b|2 og flytt første periode til høyre for å få:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Arbeid med høyre side, multipliser alt ut og forenkle:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_yb_z (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ fet {a \ ganger b} | ^ 2
Når vi setter resultatet lik venstre side av forrige ligning, får vi følgende forhold:
| \ fet {a \ ganger b} | = | \ fet {a} || \ fet {b} || \ sin (\ theta) |
Dette viser oss at størrelsene er de samme i formelen, så den siste tingen å gjøre for å bevise formelen er å vise at retningene også er de samme. Dette kan gjøres ganske enkelt ved å ta prikkproduktene fraenmeda × bogbmeda × bog viser at de er 0, og antyder at retningen tila × b er vinkelrett på begge deler.
