Enten det er en skøyteløper som trekker i armene og snurrer raskere mens hun gjør det, eller en katt som kontrollerer hvor raskt den snurrer under et fall for å sikre at den lander på beina, er konseptet med et treghetsmoment avgjørende for rotasjonsfysikken bevegelse.
Ellers kjent som rotasjonsinerti, er treghetsmomentet rotasjonsanalogen for masse i andre av Newtons bevegelseslover, som beskriver tendensen til et objekt til å motstå vinkelakselerasjon.
Konseptet virker kanskje ikke så interessant først, men i kombinasjon med loven om bevaring av vinkel momentum, kan den brukes til å beskrive mange fascinerende fysiske fenomener og forutsi bevegelse i et bredt spekter av situasjoner.
Definisjon av Moment of Inertia
Treghetsmomentet for et objekt beskriver dets motstand mot vinkelakselerasjon, og står for fordelingen av masse rundt rotasjonsaksen.
Det kvantifiserer i hovedsak hvor vanskelig det er å endre hastigheten på et objekts rotasjon, enten det betyr å starte rotasjonen, stoppe den eller endre hastigheten til et allerede roterende objekt.
Det kalles noen ganger rotasjonsinerti, og det er nyttig å tenke på det som en analog av masse i Newtons andre lov:Fnett = ma. Her kalles massen til et objekt ofte treghetsmassen, og det beskriver objektets motstand mot (lineær) bevegelse. Rotasjonsinerti fungerer akkurat slik for rotasjonsbevegelse, og den matematiske definisjonen inkluderer alltid masse.
Det ekvivalente uttrykket til den andre loven for rotasjonsbevegelse er relatertdreiemoment (τ, rotasjonsanalogen av kraft) til vinkelakselerasjonαog treghetsmomentJeg:
\ tau = I \ alpha
Det samme objektet kan imidlertid ha flere treghetsmomenter, for mens en stor del av definisjonen handler om massefordeling, tar den også hensyn til plassering av rotasjonsaksen.
For eksempel, mens treghetsmomentet for en stang som roterer rundt sentrum erJeg = ML2/ 12 (hvorMer masse ogLer lengden på stangen), har den samme stangen som roterer rundt den ene enden et treghetsmoment gitt avJeg = ML2/3.
Ligninger for treghetsmoment
Så kroppens treghetsmoment avhenger av massenM, dens radiusRog dens rotasjonsakse.
I noen tilfeller,Rer referert til somd, for avstand fra rotasjonsaksen, og i andre (som med stangen i forrige avsnitt) erstattes den av lengde,L. SymboletJegbrukes til treghetsmoment, og den har enheter på kg m2.
Som du kanskje forventer basert på det du har lært så langt, er det mange forskjellige ligninger for treghetsmoment, og hver refererer til en bestemt form og en spesifikk rotasjonsakse. I alle øyeblikk av treghet, begrepetMR2 vises, selv om det for forskjellige former er forskjellige brøker foran dette begrepet, og i noen tilfeller kan det være flere termer oppsummert sammen.
DeMR2 komponent er treghetsmomentet for en punktmasse på avstandRfra rotasjonsaksen, og ligningen for en bestemt stiv kropp er bygget opp som en sum av punktmasser, eller ved å integrere et uendelig antall små punktmasser over objektet.
Mens det i noen tilfeller kan være nyttig å utlede treghetsmomentet til et objekt basert på en enkel aritmetisk sum av punktmasser eller ved å integrering, i praksis er det mange resultater for vanlige former og rotasjonsakser som du bare kan bruke uten å måtte utlede det først:
Massiv sylinder (symmetriakse):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Massiv sylinder (sentral diameter akse, eller diameteren på det sirkulære tverrsnittet i midten av sylinderen):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Solid kule (sentral akse):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Tynt sfærisk skall (sentral akse):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Bøyle (symmetriakse, dvs. vinkelrett gjennom sentrum):
Jeg = MR ^ 2
Bøyle (diameter akse, dvs. over diameteren til sirkelen dannet av bøylen):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Stang (senterakse, vinkelrett på stanglengde):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Stang (roterende rundt enden):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotasjonsinerti og rotasjonsakse
Å forstå hvorfor det er forskjellige ligninger for hver rotasjonsakse er et viktig skritt for å forstå begrepet et treghetsmoment.
Tenk på en blyant: Du kan rotere den ved å snurre den rundt i midten, ved enden eller ved å vri den rundt sentralaksen. Fordi rotasjonsinertien til et objekt avhenger av massefordelingen rundt rotasjonsaksen, er hver av disse situasjonene forskjellige og krever en egen ligning for å beskrive den.
Du kan få en instinktiv forståelse av begrepet treghetsmoment hvis du skalerer det samme argumentet opp til en 30-fots flaggstang.
Å snur det mot slutten ville være veldig vanskelig - hvis du i det hele tatt kunne klare det - mens det å vri rundt stangen rundt sentralaksen ville være mye lettere. Dette er fordi dreiemoment avhenger sterkt av avstanden fra rotasjonsaksen, og i 30-fots flaggstangeksempel, å spinne den ende over enden involverer hver ekstreme ende 15 fot vekk fra aksen til rotasjon.
Men hvis du snurrer den rundt den sentrale aksen, er alt ganske nær aksen. Situasjonen er omtrent som å bære en tung gjenstand i armlengde vs. holder den nær kroppen din, eller bruker en spak fra slutten vs. nær støttepunktet.
Dette er grunnen til at du trenger en annen ligning for å beskrive treghetsmomentet for det samme objektet, avhengig av rotasjonsaksen. Aksen du velger påvirker hvor langt deler av kroppen er fra rotasjonsaksen, selv om kroppens masse forblir den samme.
Bruke ligningene for treghetsmoment
Nøkkelen til å beregne treghetsmomentet for en stiv kropp er å lære å bruke og anvende passende ligninger.
Tenk på blyanten fra forrige avsnitt, og blir spunnet ende-over-ende rundt et sentralt punkt langs lengden. Selv om det ikke er enperfektstang (den spisse spissen bryter for eksempel denne formen) den kan modelleres som sådan for å spare deg for å måtte gå gjennom et helt øyeblikk av treghetsavledning for objektet.
Så modellerer du objektet som en stang, vil du bruke følgende ligning for å finne treghetsmomentet kombinert med den totale massen og lengden på blyanten:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
En større utfordring er å finne treghetsmomentet for sammensatte gjenstander.
Tenk for eksempel på to kuler som er koblet sammen av en stang (som vi vil behandle som masseløse for å forenkle problemet). Kule en er 2 kg og plassert 2 m fra rotasjonsaksen, og kulen to er 5 kg i masse og 3 m fra rotasjonsaksen.
I dette tilfellet kan du finne treghetsmomentet for dette sammensatte objektet ved å betrakte hver ball som en punktmasse og arbeide ut fra den grunnleggende definisjonen som:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {aligned}
Med abonnementene som bare skiller mellom forskjellige objekter (dvs. ball 1 og ball 2). To-ball objektet vil da ha:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {justert}
Inertia Moment og Conservation of Angular Momentum
Vinkelmoment (rotasjonsanalogen for lineær momentum) er definert som produktet av rotasjonsinerti (dvs. treghetsmomentet,Jeg) av objektet og dets vinkelhastighetω), som måles i grader / s eller rad / s.
Du vil utvilsomt være kjent med loven om bevaring av lineær momentum, og vinkelmoment er også bevart på samme måte. Ligningen for vinkelmomentL) er:
L = Iω
Å tenke på hva dette betyr i praksis forklarer mange fysiske fenomener, fordi (i fravær av andre krefter), jo høyere et objekts rotasjonsinerti er, desto lavere er vinkelhastigheten.
Tenk på en skøyteløper som spinner med konstant vinkelhastighet med armene utstrakt, og legg merke til at armene hans blir utstrakt øker radiusenRsom massen hans fordeles på, noe som fører til et større treghetsmoment enn om armene hans var nær kroppen.
HvisL1 beregnes med armene utstrakte, ogL2, etter å ha trukket armene inn må ha samme verdi (fordi vinkelmoment er bevart), hva skjer hvis han reduserer treghetsmomentet ved å trekke i armene? Hans vinkelhastighetωøker for å kompensere.
Katter utfører lignende bevegelser for å hjelpe dem å lande på føttene når de faller.
Ved å strekke ut bena og halen øker de treghetsmomentet og reduserer rotasjonshastigheten, og omvendt kan de trekke inn beina for å redusere treghetsmomentet og øke rotasjonshastigheten. De bruker disse to strategiene - sammen med andre aspekter av deres "rettende refleks" - for å sikre at føttene lander først, og du kan se forskjellige faser av å krølle seg opp og strekke seg ut i tidsforløpende fotografier av en katt landing.
Treghetsmoment og roterende kinetisk energi
Fortsetter parallellene mellom lineær bevegelse og rotasjonsbevegelse, har objekter også rotasjonskinetisk energi på samme måte som de har lineær kinetisk energi.
Tenk på en ball som ruller over bakken, begge roterer rundt sin sentrale akse og beveger seg fremover på en lineær måte: Den totale kinetiske energien til ballen er summen av dens lineære kinetiske energiEk og dens roterende kinetiske energiEråtne. Parallellene mellom disse to energiene gjenspeiles i ligningene for begge, og husk at et objekt er treghetsmoment er rotasjonsanalogen for masse og dens vinkelhastighet er rotasjonsanalogen av lineær hastighetv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Du kan tydelig se at begge ligningene har nøyaktig samme form, med passende rotasjonsanaloger erstattet av rotasjons kinetisk energi ligning.
For å beregne den roterende kinetiske energien, må du selvfølgelig erstatte det riktige uttrykket for treghetsmomentet for objektet i rommet forJeg. Med tanke på ballen, og modellering av objektet som en solid kule, er ligningen i dette tilfellet:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {justert}
Den totale kinetiske energien (Etil T) er summen av dette og ballens kinetiske energi, slik at du kan skrive:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { justert}
For en 1 kg kule som beveger seg med en lineær hastighet på 2 m / s, med en radius på 0,3 m og med en vinkelhastighet på 2π rad / s, vil den totale energien være:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ tekst {J} \ end {justert}
Avhengig av situasjonen, kan et objekt bare ha lineær kinetisk energi (for eksempel en ball falt fra en høyde uten spinn gitt på den) eller bare rotasjonskinetisk energi (en ball som snurrer, men holder seg på plass).
Husk at det er detTotalenergi som er bevart. Hvis en ball blir sparket mot en vegg uten innledende rotasjon, og den spretter tilbake i lavere hastighet, men med en spinn som blir gitt, så vel som energien mistet for lyd og varme når den kom i kontakt, har en del av den opprinnelige kinetiske energien blitt overført til rotasjonskinetisk energi, og så denkan ikkemuligens bevege deg så fort som det gjorde før du hoppet tilbake.