De fleste huskerPythagoras teoremfra nybegynnergeometri - det er en klassiker. Det er
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
hvoren, bogcer sidene til en høyre trekant (cer hypotenusen). Denne setningen kan også skrives om for trigonometri!
TL; DR (for lang; Leste ikke)
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Pythagoras identiteter er ligninger som skriver Pythagoras teorem når det gjelder trigfunksjonene.
HovedPythagoras identiteterer:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pythagoras identiteter er eksempler påtrigonometriske identiteter: likheter (ligninger) som bruker trigonometriske funksjoner.
Hvorfor betyr det noe?
De pythagoreiske identitetene kan være veldig nyttige for å forenkle kompliserte trig-setninger og ligninger. Husk dem nå, så kan du spare deg mye tid på veien!
Bevis ved å bruke definisjonene av trig-funksjonene
Disse identitetene er ganske enkle å bevise hvis du tenker på definisjonene av trig-funksjonene. La oss for eksempel bevise det
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Husk at definisjonen av sinus er motsatt side / hypotenuse, og at cosinus er tilstøtende side / hypotenuse.
Så
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {motsatt} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Og
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {tilstøtende} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Du kan enkelt legge disse to sammen fordi nevnerne er de samme.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {motsatt} ^ 2 + \ tekst {tilstøtende} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Ta en ny titt på Pythagoras teorem. Det står deten2 + b2 = c2. Husk detenogbstå for motsatte og tilstøtende sider, ogcstår for hypotenusen.
Du kan omorganisere ligningen ved å dele begge sider medc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Sidenen2 ogb2 er motsatte og tilstøtende sider ogc2 er hypotenusen, har du en ekvivalent uttalelse til den ovenfor, med (motsatt2 + tilstøtende2) / hypotenuse2. Og takket være arbeidet meden, b, cog Pythagoras teorem, kan du nå se denne uttalelsen er lik 1!
Så
\ frac {\ text {motsatt} ^ 2 + \ tekst {tilstøtende} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
og derfor:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Og det er bedre å skrive det ordentlig ut: synd2(θ) + cos2(θ) = 1).
De gjensidige identitetene
La oss bruke noen minutter på å se pågjensidige identiteterogså. Husk atgjensidiger en delt på ("over") nummeret ditt - også kjent som det inverse.
Siden cosecant er gjensidig av sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Du kan også tenke på cosecant ved å bruke definisjonen på sinus. For eksempel sinus = motsatt side / hypotenus. Det omvendte av det vil være brøkdelen snudd opp ned, som er hypotenuse / motsatt side.
Tilsvarende er cosinus gjensidige sekant, så det er definert som
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {eller} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {tilstøtende side}}
Og tangens gjensidige er cotangent, så
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {tilstøtende side}} {\ text {motsatt side}}
Bevisene for de pythagoreiske identitetene som bruker secant og cosecant, er veldig like den for sinus og cosinus. Du kan også utlede ligningene ved hjelp av "foreldre" ligningen, synd2(θ) + cos2(θ) = 1. Del begge sider av cos2(θ) for å få identiteten 1 + tan2(θ) = sek2(θ). Del begge sider ved synd2(θ) for å få identiteten 1 + barneseng2(θ) = csc2(θ).
Lykke til og husk å huske de tre pythagoreiske identitetene utenat!