Akkurat som i algebra, når du begynner å lære trigonometri, vil du samle sett med formler som er nyttige for problemløsing. Et slikt sett er halvvinkelidentitetene, som du kan bruke til to formål. Den ene er å konvertere trigonometriske funksjoner til (θ/ 2) i funksjoner når det gjelder det mer kjente (og lettere manipulert)θ. Den andre er å finne den faktiske verdien av trigonometriske funksjoner avθ, nårθkan uttrykkes som halvparten av en mer kjent vinkel.
Gjennomgang av halvvinkelidentitetene
Mange matte lærebøker vil vise fire primære halvvinkelidentiteter. Men ved å bruke en blanding av algebra og trigonometri, kan disse ligningene masseres til en rekke nyttige former. Du trenger ikke nødvendigvis å huske alle disse (med mindre læreren din insisterer) utenat, men du bør i det minste forstå hvordan du bruker dem:
Half-Angle Identity for Sine
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Half-Angle Identity for Cosine
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Halvvinkelidentiteter for tangent
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Halvvinkelidentiteter for Cotangent
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Et eksempel på bruk av halvvinklede identiteter
Så hvordan bruker du halvvinkelidentiteter? Det første trinnet er å erkjenne at du har å gjøre med en vinkel som er halvparten av en mer kjent vinkel.
- Kvadrant I: alle trig-funksjoner
- Kvadrant II: bare sinus og cosecant
- Kvadrant III: bare tangent og cotangent
- Kvadrant IV: bare cosinus og secant
forestill deg at du blir bedt om å finne sinusen til vinkelen 15 grader. Dette er ikke en av de vinklene de fleste studenter vil huske verdiene til trig-funksjoner for. Men hvis du lar 15 grader være lik θ / 2 og deretter løser for θ, vil du oppdage at:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Fordi den resulterende θ, 30 grader, er en mer kjent vinkel, vil det være nyttig å bruke halvvinkelformelen her.
Fordi du er blitt bedt om å finne sinus, er det egentlig bare en halvvinkelformel å velge mellom:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Bytte iθ/ 2 = 15 grader ogθ= 30 grader gir deg:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Hvis du ble bedt om å finne tangenten eller cotangenten, som begge ganger multipliserer måter å uttrykke sin halvvinkelidentitet på, ville du ganske enkelt velge den versjonen som så lettest ut å fungere.
± tegnet i begynnelsen av noen halvvinkelidentiteter betyr at roten det er snakk om kan være positiv eller negativ. Du kan løse denne tvetydigheten ved å bruke din kunnskap om trigonometriske funksjoner i kvadranter. Her er et raskt sammendrag av hvilke trig-funksjoner som returnererpositivtverdier der kvadranter:
Fordi i dette tilfellet vinkelen din θ representerer 30 grader, som faller i kvadrant I, vet du at sinusverdien den returnerer vil være positiv. Så du kan slippe ± tegnet og bare evaluere:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Erstatt i den kjente, kjente verdien av cos (30). I dette tilfellet bruker du de nøyaktige verdiene (i motsetning til desimale tilnærminger fra et diagram):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Deretter forenkler du høyre side av ligningen for å finne en verdi for synd (15). Start med å multiplisere uttrykket under radikalen med 2/2, noe som gir deg:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Dette forenkler å:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Du kan deretter faktorisere kvadratroten på 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
I de fleste tilfeller er dette omtrent så langt du ville forenklet. Selv om resultatet kanskje ikke er veldig pent, har du oversatt sinusen til en ukjent vinkel til en nøyaktig mengde.