Du kan ikke løse en ligning som inneholder en brøkdel med en irrasjonell nevner, noe som betyr at nevneren inneholder et begrep med et radikalt tegn. Dette inkluderer kvadrat, terning og høyere røtter. Å kvitte seg med det radikale tegnet kalles å rasjonalisere nevneren. Når nevneren har ett begrep, kan du gjøre dette ved å multiplisere topp- og bunntermer med radikalen. Når nevneren har to termer, er prosedyren litt mer komplisert. Du multipliserer topp og bunn med konjugatet av nevneren og utvider og bare telleren.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
For å rasjonalisere en brøk, må du multiplisere teller og nevner med et tall eller uttrykk som blir kvitt de radikale tegnene i nevneren.
Rasjonalisering av en brøkdel med en periode i nevneren
En brøkdel med kvadratroten til et enkelt begrep i nevneren er den enkleste å rasjonalisere. Generelt tar fraksjonen formen / √x. Du rasjonaliserer det ved å multiplisere teller og nevner med √x.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Siden alt du har gjort er å multiplisere brøkdelen med 1, har ikke verdien endret seg.
Eksempel:
Rasjonalisere
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Multipliser teller og nevner med √6 for å få
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Du kan forenkle dette ved å dele 6 i 12 for å få 2, så den forenklede formen for den rasjonaliserte brøkdelen er
2 \ sqrt {6}
Rasjonalisering av en brøkdel med to vilkår i nevneren
Anta at du har en brøkdel i skjemaet
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Du kan bli kvitt det radikale tegnet i nevneren ved å multiplisere uttrykket med konjugatet. For en generell binomial av skjemaetx + y, konjugatet erx − y. Når du multipliserer disse sammen, får dux2 − y2. Bruk av denne teknikken til den generelle brøkdelen ovenfor:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Utvid telleren for å få
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Dette uttrykket blir mindre komplisert når du erstatter heltall for noen eller alle variablene.
Eksempel:
Rasjonaliser nevneren av brøkdelen
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
Bøyningen av nevneren er 1 - (−√y) = 1+ √y. Multipliser teller og nevner med dette uttrykket og forenkle:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Rasjonalisering av terningrøtter
Når du har en terningrot i nevneren, må du multiplisere teller og nevner med terningrot av firkanten av tallet under det radikale tegnet for å bli kvitt det radikale tegnet i nevner. Generelt, hvis du har en brøkdel i skjemaeten / 3√x, multipliser topp og bunn med 3√x2.
Eksempel:
Rasjonaliser nevneren:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Multipliser teller og nevner med 3√x2 å få
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}