Noen ganger er den eneste måten å komme gjennom matematiske beregninger på brute force. Men med jevne mellomrom kan du spare mye arbeid ved å gjenkjenne spesielle problemer som du kan bruke en standardisert formel for å løse. Å finne summen av kuber og finne forskjellen på kuber er to eksempler på akkurat det: Når du vet formlene for faktoriseringen3 + b3 elleren3 - b3, å finne svaret er like enkelt som å erstatte verdiene for a og b i riktig formel.
Sette det i sammenheng
Først, en rask titt på hvorfor du kanskje vil finne - eller mer passende "faktor" - summen eller forskjellen på kuber. Når konseptet først introduseres, er det et enkelt matematisk problem i seg selv. Men hvis du fortsetter å studere matematikk, vil dette senere bli et mellomtrinn i mer komplekse beregninger. Så hvis du fåren3 + b3 elleren3 − b3 som svar under andre beregninger, kan du bruke ferdighetene du er i ferd med å lære for å bryte de kuberte tall fra hverandre til enklere komponenter, noe som ofte gjør det lettere å fortsette å løse originalen problem.
Fakturering av kubesummen
Se for deg at du har kommet til binomialet
x ^ 3 + 27
og blir bedt om å forenkle det. Den første perioden,x3, er åpenbart et kubertall. Etter en liten undersøkelse kan du se at det andre tallet også er et kubertall: 27 er det samme som 33. Nå som du vet at begge tallene er kuber, kan du bruke formelen for kubesummen.
Skriv ut begge tallene i kubikkform, hvis det ikke allerede er tilfelle. For å fortsette dette eksemplet, vil du ha:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Når du er vant til prosessen, kan du hoppe over dette trinnet og gå rett for å fylle verdiene fra trinn 1 i formelen. Men spesielt når du lærer, er det best å gå trinn for trinn og minne deg på formelen:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Sammenlign venstre side av denne ligningen med resultatet fra trinn 1. Merk at du kan erstattexi stedet foren,og 3 i stedet forb.
Bytt ut verdiene fra trinn 1 i formelen i trinn 2. Så du har:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
For nå representerer du svaret ditt å komme til høyre i ligningen. Dette er resultatet av fakturering av summen av to kuberte tall.
Å faktorisere forskjellen mellom kuber
Å faktorisere forskjellen på to kuberte tall fungerer på samme måte. Faktisk er formelen nesten identisk med formelen for kubesummen. Men det er en kritisk forskjell: Vær spesielt oppmerksom på hvor minustegnet går.
Tenk deg at du får problemet
y ^ 3 - 125
og må faktorisere det. Som før,y3 er en åpenbar terning, og med litt tanke bør du kunne erkjenne at 125 faktisk er 53. Så du har:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Som før, skriv ut formelen for kubeforskjellen. Legg merke til at du kan erstatteytilenog 5 forb, og merk spesielt hvor minustegnet går i denne formelen. Plasseringen av minustegnet er den eneste forskjellen mellom denne formelen og formelen for kubesummen.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Skriv formelen ut igjen, denne gangen og erstatt verdiene fra trinn 1. Dette gir:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Igjen, hvis alt du trenger å gjøre er å faktorere forskjellen på kubene, er dette svaret ditt.