Et irrasjonelt tall er ikke så skummelt som det høres ut; det er bare et tall som ikke kan uttrykkes som en enkel brøkdel eller, for å si det på en annen måte, et irrasjonelt tall er en uendelig desimal som fortsetter et uendelig antall steder forbi desimal tegn. Du kan utføre de fleste operasjoner på irrasjonelle tall akkurat som du ville gjort med rasjonelle tall, men når det gjelder å ta kvadratrøtter, må du lære å tilnærme verdien.
Hva er et irrasjonelt nummer?
Så hva er et irrasjonelt tall, uansett? Du er kanskje allerede kjent med to veldig berømte irrasjonelle tall: π eller "pi", som nesten alltid forkortes til 3.14, men faktisk fortsetter uendelig til høyre for desimaltegnet. og "e", også kalt Eulers nummer, som vanligvis forkortes som 2.71828, men også fortsetter uendelig til høyre for desimaltegnet.
Men det er mange flere irrasjonelle tall der ute, og her er det en enkel måte å få øye på noen av dem: Hvis tallet under et kvadratrottegn er ikke et perfekt kvadrat, da er kvadratrot et irrasjonelt Nummer.
Det er en veldig stor munnfull, så her er et eksempel for å gjøre det klart. Det hjelper også å huske at et perfekt kvadrat er et tall der kvadratroten er et helt tall:
Er √8 et irrasjonelt tall?Hvis du har husket de perfekte rutene utenat, eller tar deg tid til å slå dem opp, vet du det
\ sqrt {4} = 2 \ text {og} \ sqrt {9} = 3
Siden √8 er mellom disse to tallene, men det ikke er noe heltall mellom 2 og 3 som er roten, er √8 irrasjonell.
Tar kvadratrot av et irrasjonelt nummer
Når det gjelder beregning av kvadratroten til et irrasjonelt tall, har du to valg. Enten legger du det irrasjonelle tallet i en kalkulator eller en online kvadratrotkalkulator (se Ressurser), i så fall kalkulatoren returnerer en omtrentlig verdi for deg - eller du kan bruke en firetrinnsprosess for å estimere verdien deg selv.
Eksempel 1:Beregn verdien av det irrasjonelle tallet √8.
Finn de perfekte rutene på hver linje av √8 på tallinjen. I dette tilfellet er √4 = 2 og √9 = 3. Velg den som er nærmest målnummeret ditt. Siden 8 er mye nærmere 9 enn 4, velg
\ sqrt {9} = 3
Del deretter tallet du vil ha roten - 8 - med estimatet ditt. Fortsetter du eksemplet, har du:
\ frac {8} {3} = 2,67
Finn nå gjennomsnittet av resultatet fra trinn 2 med skillelinjen fra trinn 2. Her betyr det gjennomsnittlig 3 og 2,67. Legg først de to tallene sammen, og del deretter med to:
3 + 2.67 = 5.6667
(Dette er faktisk den gjentatte desimalen 5.6666666666, men den er avrundet til fire desimaler for kortfattethets skyld.)
\ frac {5.6667} {2} = 2.83335
Resultatet fra trinn 3 er fremdeles ikke eksakt, men det nærmer seg. Gjenta trinn 2 og 3 etter behov, og bruk resultatet fra trinn 3 som den nye deleren i trinn 2 hver gang.
For å fortsette eksemplet, vil du dele 8 med resultatet fra trinn 3 (2.83335), som gir deg:
\ frac {8} {2.83335} = 2.8235
(Igjen, avrunding til fire desimaler for korthets skyld.)
Du vil da gjennomsnittlig resultatet av delingen din med divisoren, som gir deg:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \, \\ \ frac {5.65685} {2} = 2.828425
Du kan fortsette denne prosessen, og gjenta trinn 2 og 3 etter behov, til svaret er så nøyaktig som du trenger det.
Hva med irrasjonelle firkantede røtter?
Noen ganger, i stedet for å finne kvadratroten til et irrasjonelt tall, må du håndtere irrasjonelle tall som er uttrykt i kvadratrotform - en av de mest berømte du vil lære om er √2.
Det er ikke mye du kan gjøre med √2, bortsett fra å tilnærme verdien som beskrevet ovenfor. Men hvis du får et større irrasjonelt tall i kvadratrotform, kan du noen ganger bruke det
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
å omskrive svaret i en enklere form.
Tenk på den irrasjonelle kvadratroten √32. Selv om den ikke har en hovedrot (det vil si en ikke-negativ, heltalsrot), kan du faktorisere den til noe med en kjent hovedrot:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Du kan fortsatt ikke gjøre mye med √2, men √16 = 4, så du kan ta dette et skritt videre og skrive det som
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Selv om du ikke har eliminert det radikale tegnet helt, har du forenklet dette irrasjonelle tallet og samtidig bevart den eksakte verdien.