Hvordan finne den største fellesfaktoren for to tall

Å finne den største vanlige faktoren, eller GCF, av to tall er nyttig i mange situasjoner i matematikk, men spesielt når det gjelder å forenkle brøker. Hvis du sliter med dette eller finner fellesnevnere, kan du lære to metoder for å finne felles faktorer hjelpe deg med å oppnå det du har tenkt deg å gjøre. Først er det imidlertid en god ide å lære om det grunnleggende om faktorer; Deretter kan du se på to tilnærminger for å finne vanlige faktorer. Til slutt kan du se på hvordan du bruker kunnskapen din for å forenkle en brøkdel.

Faktorer er tallene du multipliserer sammen for å produsere et annet tall. For eksempel er 2 og 3 faktorer på 6, fordi 2 × 3 = 6. Tilsvarende er 3 og 3 faktorer på 9, fordi 3 × 3 = 9. Som du kanskje vet, er primtall tall som ikke har andre faktorer enn seg selv og 1. Så 3 er et primtall, fordi de eneste to heltallene (heltall) som kan multiplisere sammen for å gi 3 som svar er 3 og 1. På samme måte er 7 et primtall, og det samme er 13.

På grunn av dette er det ofte nyttig å dele ned et tall i "hovedfaktorer". Dette betyr å finne alle primtallfaktorene til et annet tall. Det bryter i utgangspunktet tallet ned i sine grunnleggende "byggesteiner", som er et nyttig skritt mot å finne den største vanlige faktoren på to tall og er også uvurderlig når det gjelder å forenkle kvadrat røtter.

Den enkleste metoden for å finne den største fellesfaktoren på to tall er å bare liste opp alle faktorene til hvert tall og se etter det høyeste tallet som begge deler. Tenk deg at du vil finne den høyeste vanlige faktoren 45 og 60. Se først på de forskjellige tallene du kan multiplisere sammen for å produsere 45.

Den enkleste måten å starte er med de to du vet vil fungere, selv for et primtall. I dette tilfellet vet vi 1 × 45 = 45, så vi vet at 1 og 45 er faktorer på 45. Dette er den første og siste faktoren på 45, så du kan bare fylle ut derfra. Deretter må du finne ut om 2 er en faktor. Dette er enkelt, for et hvilket som helst partall vil være delbart med 2, og et oddetall vil ikke. Så vi vet at 2 ikke er en faktor på 45. Hva med 3? Du bør være i stand til å oppdage at 3 er en faktor på 45, fordi 3 × 15 = 45 (du kan alltid bygge på det du vet å finne ut av dette, for eksempel vil du vite at 3 × 12 = 36, og å legge til tre til dette fører deg til 45).

Neste, er 4 en faktor på 45? Nei - du vet 11 × 4 = 44, så det kan ikke være! Neste, hva med 5? Dette er en annen enkel, fordi ethvert tall som slutter på 0 eller 5, kan deles med 5. Og med dette kan du enkelt se at 5 × 9 = 45. Men 6 er ikke bra fordi 7 × 6 = 42 og 8 × 6 = 48. Fra dette kan du også se at 7 og 8 ikke er faktorer på 45. Vi vet allerede at 9 er det, og det er lett å se at 10 og 11 ikke er faktorer. Fortsett denne prosessen, så ser du at 15 er en faktor, men ingenting annet er det.

Så faktorene på 45 er: 1, 3, 5, 9, 15 og 45.

I 60 går du gjennom nøyaktig samme prosess. Denne gangen er tallet jevnt (slik at du vet at 2 er en faktor) og delelig med 10 (så 5 og 10 er begge faktorer), noe som gjør ting litt lettere. Etter å ha gått gjennom prosessen igjen, bør du se at faktorene på 60 er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.

Sammenligning av de to listene viser at 15 er den største vanlige faktoren 45 og 60. Denne metoden kan være tidkrevende, men den er enkel og den vil alltid fungere. Du kan også starte med hvilken som helst høy felles faktor du kan få øye på med en gang, og deretter bare se etter høyere faktorer for hvert tall.

Den andre metoden for å finne GCF for to tall er å bruke hovedfaktorer. Prosessen med primfaktorisering er litt enklere og mer strukturert enn å finne hver faktor. La oss gå gjennom prosessen i 42 og 63.

Prosessen med primfaktorisering innebærer i utgangspunktet å bryte tallet ned til du bare er igjen med primtall. Det er best å starte med den minste prime (to) og jobbe derfra. Så for 42 er det lett å se at 2 × 21 = 42. Arbeid deretter fra 21: Er 2 en faktor? Nei. Er 3? Ja! 3 × 7 = 21, og 3 og 7 er begge primtall. Dette betyr at de viktigste faktorene på 42 er 2, 3 og 7. Den første "pause" brukte 2 for å komme til 21, og den andre delte denne ned i 3 og 7. Du kan sjekke dette ved å multiplisere alle faktorene dine sammen og sjekke at du får det opprinnelige nummeret: 2 × 3 × 7 = 42.

For 63 er 2 ikke en faktor, men 3 er fordi 3 × 21 = 63. Igjen, 21 brytes ned i 3 og 7 - begge prime - slik at du kjenner de viktigste faktorene! Kontroll viser at 3 × 3 × 7 = 63, etter behov.

Du finner den høyeste vanlige faktoren ved å se på hvilke hovedfaktorer de to tallene har til felles. I dette tilfellet har 42 2, 3 og 7, og 63 har 3, 3 og 7. De har 3 og 7 til felles. For å finne den høyeste vanlige faktoren, multipliser alle de vanlige hovedfaktorene sammen. I dette tilfellet er 3 × 7 = 21, så 21 er den største vanlige faktoren på 42 og 63.

Det forrige eksemplet kan også løses raskere på denne måten. Fordi 45 er delelig med tre (3 × 15 = 45), og 15 også kan deles med tre (3 × 5 = 15), er hovedfaktorene på 45 3, 3 og 5. For 60 er det delbart med to (2 × 30 = 60), 30 er også delbart med to (2 × 15 = 30), og så sitter du igjen med 15, som vi vet har tre og fem som hovedfaktorer, forlater 2, 2, 3 og 5. Sammenligning av de to listene er tre og fem de vanligste hovedfaktorene, så den største fellesfaktoren er 3 × 5 = 15.

I tilfelle det er tre eller flere vanlige hovedfaktorer, multipliserer du dem alle sammen på samme måte for å finne den største fellesfaktoren.

Hvis du får en brøk som 32/96, kan det gjøre kompliserte beregninger som er veldig kompliserte, med mindre du kan se en måte å forenkle brøken på. Å finne den laveste vanlige faktoren på 32 og 96 vil fortelle deg tallet du skal dele begge med, for å få en enklere brøkdel. I dette tilfellet:

For 96 gir prosessen:

Det bør være klart at 2⁵ = 32 er den høyeste vanlige faktoren. Å dele begge deler av brøkdelen med 32 gir:

Å finne fellesnevnere er en lignende prosess. Tenk deg at du måtte legge til brøkdelene 15/45 og 40/60. Vi vet fra det første eksemplet at 15 er den høyeste vanlige faktoren på 45 og 60, så vi kan umiddelbart uttrykke dem som 5/15 og 10/15. Siden 3 × 5 = 15, og begge tellerne også kan deles med fem, kan vi dele begge deler av begge brøkene med fem for å få 1/3 og 2/3. Nå er de mye lettere å legge til og se det