En polygon er en lukket todimensjonal figur med 3 eller flere rette (ikke buede) sider, og en 12-sidig polygon er kjent som en dodecagon. En vanlig dodecagon er en med like sider og vinkler, og det er mulig å utlede en formel for å beregne arealet. En uregelmessig dodecagon har sider av forskjellige lengder og forskjellige vinkler. En seksspisset stjerne er et eksempel. Det er ingen enkel måte å beregne arealet til en uregelmessig 12-sidig figur med mindre du tilfeldigvis har tegnet den i en graf og kan lese koordinatene til hver av toppunktene. Hvis ikke, er den beste strategien å dele figuren i vanlige former som du kan beregne arealet for.
Beregning av arealet til en vanlig 12-sidig polygon
For å beregne arealet til en vanlig dodecagon, må du finne sentrum, og den beste måten å gjøre det på er å skrive en sirkel rundt den som bare berører hver av toppunktene. Sentrum av sirkelen er sentrum av dodecagon, og avstanden fra midten av figuren til hver av dens hjørner er ganske enkelt radiusen til sirkelen (r). Hver av figurens 12 sider har samme lengde, så betegn dette meds.
Du trenger en måling til, og det er lengden på en vinkelrett linje trukket fra midtpunktet på hver side til midten av den 12-sidige formen. Denne linjen er kjent som apotemet. Betegn lengden avm. Den deler hvert snitt dannet av radiuslinjene i to rettvinklede trekanter. Du vet ikkem, men du finner den ved hjelp av Pythagoras teorem.
De 12 radiuslinjene deler sirkelen du skrev rundt dodecagon i 12 like seksjoner, så i midten av figuren er vinkelen hver linje gjør med den ved siden av den 30 grader. Hver av de 12 seksjonene dannet av radiuslinjene består av et par rettvinklede trekanter med hypotenusrog en vinkel på 15 grader. Siden ved siden av vinkelen erm, slik at du kan finne den ved hjelp av r og vinkelen sinus.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {og løse for} m \\ m = r × \ sin (15)
Du kan nå finne arealet til hver av de likebenede trekanter som er innskrevet i dodecagon, fordi du vet lengden på basen - som ers- og høyden,m. Arealet til hver trekant er
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {justert}
Det er 12 slike seksjoner, så multipliser med 12 for å finne det totale arealet til den vanlige 12-sidige formen:
\ text {Areal av vanlig dodecagon} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Finne området til en uregelmessig Dodecagon
Det er ingen formel for å finne området til en uregelmessig dodecagon, siden lengden på sidene og vinklene ikke er de samme. Det er til og med vanskelig å finne senteret. Den beste strategien er å dele figuren opp i vanlige former, beregne arealet til hver enkelt og legge dem til.
Hvis formen er tegnet på en graf, og du kjenner koordinatene til toppunktene, er det en formel du kan bruke til å beregne areal. Hvis hvert punkt (n) er definert av (xn, yn), og du går rundt figuren i rekkefølge, enten med eller mot klokken, for å få en serie på 12 poeng, området er:
\ tekst {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}