Kvadratrøtter finnes ofte i matte- og naturfagsproblemer, og enhver student trenger å plukke opp det grunnleggende om kvadratrøtter for å takle disse spørsmålene. Kvadratrøtter spør ”hvilket tall, når det multipliseres med seg selv, gir følgende resultat,” og som sådan krever det at du tenker på tall på en litt annen måte. Du kan imidlertid enkelt forstå reglene for kvadratrøtter og svare på spørsmål som involverer dem, enten de krever direkte beregning eller bare forenkling.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En kvadratrot spør deg hvilket tall, multiplisert med seg selv, gir resultatet etter √-symbolet. Så √9 = 3 og √16 = 4. Hver rot har teknisk et positivt og et negativt svar, men i de fleste tilfeller er det positive svaret du vil være interessert i.
Du kan faktorere kvadratrøtter akkurat som vanlige tall, så √ab = √en √b, eller √6 = √2√3.
Hva er en kvadratrot?
Kvadratrøtter er det motsatte av å "kvadre" et tall, eller multiplisere det med seg selv. For eksempel er tre i firkant ni (32 = 9), så kvadratroten på ni er tre. I symboler er dette
\ sqrt {9} = 3
“√” symbolet forteller deg å ta kvadratroten av et tall, og du finner dette på de fleste kalkulatorer.
Husk at hvert nummer faktisk hartokvadratrøtter. Tre ganget med tre er lik ni, men negative tre multiplisert med negative tre tilsvarer også ni, så
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {og} \ sqrt {9} = ± 3
med ± å stå for "pluss eller minus." I mange tilfeller kan du ignorere de negative kvadratrøttene til tall, men noen ganger er det viktig å huske at hvert tall har to røtter.
Det kan hende du blir bedt om å ta "kuberoten" eller "den fjerde roten" til et tall. Kubaroten er tallet som, når det multipliseres med seg selv to ganger, tilsvarer det opprinnelige tallet. Den fjerde roten er tallet som når det multipliseres med seg selv tre ganger tilsvarer det opprinnelige tallet. I likhet med kvadratrøtter er disse akkurat det motsatte av å ta kraften til tall. Så, 33 = 27, og det betyr at terningroten til 27 er 3, eller
\ sqrt [3] {27} = 3
“∛” symbolet representerer kubaroten til tallet som kommer etter det. Røtter blir noen ganger også uttrykt som brøkmakt, så
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {og} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Forenkling av firkantede røtter
En av de mest utfordrende oppgavene du måtte utføre med kvadratrøtter er å forenkle store kvadratrøtter, men du trenger bare å følge noen enkle regler for å takle disse spørsmålene. Du kan faktorere kvadratrøtter på samme måte som du faktorere vanlige tall. Så for eksempel 6 = 2 × 3, så
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Å forenkle større røtter betyr å ta faktoriseringen trinnvis og huske definisjonen av kvadratrot. For eksempel er √132 en stor rot, og det kan være vanskelig å se hva du skal gjøre. Du kan imidlertid enkelt se at den kan deles med 2, slik at du kan skrive
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Imidlertid er 66 også delelig med 2, så du kan skrive:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
I dette tilfellet gir en kvadratrot av et tall multiplisert med en annen kvadratrot bare det opprinnelige tallet (på grunn av definisjonen av kvadratrot), så
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Kort sagt, du kan forenkle kvadratrøtter ved hjelp av følgende regler
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Hva er den firkantede roten til ...
Ved å bruke definisjonene og reglene ovenfor kan du finne kvadratroten til de fleste tall. Her er noen eksempler du bør vurdere.
Kvadratroten på 8
Dette kan ikke bli funnet direkte fordi det ikke er kvadratroten til et helt tall. Imidlertid gir bruk av reglene for forenkling:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadratroten til 4
Dette bruker den enkle kvadratroten på 4, som er √4 = 2. Problemet kan løses nøyaktig ved hjelp av en kalkulator, og √8 = 2.8284 ...
Kvadratroten på 12
Bruk samme tilnærming, prøv å beregne kvadratroten på 12. Del roten i faktorer, og se om du kan dele den i faktorer igjen. Forsøk dette som et praksisproblem, og se deretter på løsningen nedenfor:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Igjen kan dette forenklede uttrykket enten brukes i problemer etter behov, eller beregnes nøyaktig ved hjelp av en kalkulator. En kalkulator viser det
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadratroten på 20
Kvadratroten på 20 kan bli funnet på samme måte:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Kvadratroten på 32
Til slutt, takle kvadratroten på 32 ved å bruke samme tilnærming:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Vær oppmerksom på at vi allerede har beregnet kvadratroten på 8 som 2√2, og at √4 = 2, så:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Kvadratisk rot av et negativt tall
Selv om definisjonen av kvadratrot betyr at negative tall ikke skal ha kvadratrot (fordi et tall multiplisert gir i seg selv et positivt tall som et resultat), møtte matematikere dem som en del av problemer i algebra og utviklet en løsning. Det "imaginære" talletJegbrukes til å bety "kvadratroten på minus 1" og andre negative røtter uttrykkes som multipler avJeg. Så
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Disse problemene er mer utfordrende, men du kan lære å løse dem basert på definisjonen avJegog standardreglene for røtter.
Eksempel på spørsmål og svar
Test din forståelse av kvadratrøtter ved å forenkle etter behov og deretter beregne følgende røtter:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Prøv å løse disse før du ser på svarene nedenfor:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196