Med Super Bowl rett rundt hjørnet har idrettsutøvere og fans av verden sitt fokus på det store spillet. Men for _math_letes kan det store spillet tenke på et lite problem knyttet til mulige poeng i et fotballkamp. Med bare begrensede muligheter for hvor mange poeng du kan score, kan enkelte summer ganske enkelt ikke nås, men hva er det høyeste? Hvis du vil vite hva som knytter mynter, fotball og McDonald’s kyllingnuggets, er dette et problem for deg.
Super Bowl Math Problem
Problemet innebærer mulige poeng som enten Los Angeles Rams eller New England Patriots muligens kan oppnå på søndag uten en sikkerhet eller en to-punkts konvertering. Med andre ord er de tillatte måtene å øke poengene sine 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns. Så uten sikkerhet, kan du ikke oppnå 2 poeng i et spill med en kombinasjon av 3 og 7. På samme måte kan du heller ikke oppnå 4 poeng, og heller ikke score 5.
Spørsmålet er: Hva er den høyeste poengsummen det kan ikke oppnås med bare 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns?
Selvfølgelig er berøringer uten konvertering verdt 6, men siden du uansett kan komme til det med to feltmål, betyr det ikke noe for problemet. Siden vi har å gjøre med matematikk her, trenger du ikke å bekymre deg for det spesifikke lagets taktikk eller til og med noen grenser for deres evne til å score poeng.
Prøv å løse dette selv før du går videre!
Finne en løsning (den langsomme veien)
Dette problemet har noen komplekse matematiske løsninger (se Ressurser for detaljer, men hovedresultatet vil bli introdusert nedenfor), men det er et godt eksempel på hvordan dette ikke er behov for for å finne svaret.
Alt du trenger å gjøre for å finne en brute-force-løsning er å bare prøve hver av poengene etter tur. Så vi vet at du ikke kan score 1 eller 2, fordi de er under 3. Vi har allerede slått fast at 4 og 5 ikke er mulig, men 6 er med to feltmål. Kan du score 8 etter 7 (som er mulig)? Nei. Tre feltmål gir 9, og et feltmål og en omgjort touchdown gjør 10. Men du kan ikke få 11.
Fra dette punktet og utover viser litt arbeid at:
\ begin {justert} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ end {justert}
Og faktisk kan du fortsette slik så lenge du vil. Svaret ser ut til å være 11. Men er det?
Den algebraiske løsningen
Matematikere kaller disse problemene "Frobenius myntproblemer." Den opprinnelige formen relatert til mynter, for eksempel: Hvis du bare hadde mynter verdsatt 4 øre og 11 øre (ikke ekte mynter, men igjen, det er matteproblemer for deg), hva er den største mengden penger du ikke kunne produsere.
Løsningen, når det gjelder algebra, er den med en poengsum verdt s poeng og en poengsum verdt q poeng, den høyeste poengsummen du ikke kan få (N) er gitt av:
N = pq \; - \; (p + q)
Så å plugge inn verdiene fra Super Bowl-problemet gir:
\ begin {align} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ slutt {justert}
Som er svaret vi fikk den langsomme veien. Så hva om du bare kunne score touchdowns uten konvertering (6 poeng) og touchdowns med one-point-konverteringer (7 poeng)? Se om du kan bruke formelen til å trene den før du leser videre.
I dette tilfellet blir formelen:
\ begin {align} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ slutt {justert}
The Chicken McNugget Problem
Så spillet er over, og du vil belønne det vinnende laget med en tur til McDonald's. Men de selger bare McNuggets i esker med 9 eller 20. Så hva er det høyeste antallet nuggets deg kan ikke kjøpe med disse (utdaterte) boksnumrene? Prøv å bruke formelen for å finne svaret før du leser videre.
Siden
N = pq \; - \; (p + q)
Og med s = 9 og q = 20:
\ begin {align} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {justert}
Så forutsatt at du kjøpte mer enn 151 nuggets - det vinnende teamet vil trolig være ganske sultent - tross alt - du kan kjøpe et hvilket som helst antall nuggets du vil ha med en bokskombinasjon.
Du lurer kanskje på hvorfor vi bare har dekket to-tallsversjoner av dette problemet. Hva om vi innarbeidet sikkerhet, eller hvis McDonalds solgte tre størrelser nuggetesker? Det er ingen klar formel i dette tilfellet, og selv om de fleste versjoner av det kan løses, er noen aspekter av spørsmålet fullstendig uløst.
Så når du ser på spillet eller spiser kyllingbiter i størrelse, kan du hevde at du prøver å løse et åpent problem i matematikk - det er verdt å prøve å komme seg ut av husarbeidet!