Tenk deg at du bemanner en kanon, med sikte på å knuse murene til et fiendtlig slott slik at hæren din kan storme inn og hevde seier. Hvis du vet hvor raskt ballen beveger seg når den forlater kanonen, og du vet hvor langt veggene er, hvilken lanseringsvinkel trenger du for å skyte kanonen mot for å lykkes med å treffe veggene?
Dette er et eksempel på et prosjektilbevegelsesproblem, og du kan løse dette og mange lignende problemer ved å bruke de konstante akselerasjonsligningene til kinematikk og noen grunnleggende algebra.
Prosjektil bevegelseer hvordan fysikere beskriver todimensjonal bevegelse der den eneste akselerasjonen objektet det er snakk om er konstant nedadgående akselerasjon på grunn av tyngdekraften.
På jordoverflaten, den konstante akselerasjonenener likg= 9,8 m / s2, og et objekt som gjennomgår prosjektilbevegelse er ifritt fallmed dette som den eneste kilden til akselerasjon. I de fleste tilfeller vil det ta stien til en parabel, så bevegelsen vil ha både en horisontal og vertikal komponent. Selv om det ville ha en (begrenset) effekt i det virkelige liv, ignorerer heldigvis de fleste videregående fysiske prosjektilbevegelsesproblemene effekten av luftmotstand.
Du kan løse prosjektilbevegelsesproblemer ved hjelp av verdien avgog annen grunnleggende informasjon om situasjonen, for eksempel prosjektilets starthastighet og retningen det beveger seg i. Å lære å løse disse problemene er viktig for å bestå de fleste innledende fysikktimer, og det introduserer deg for de viktigste konseptene og teknikkene du trenger i senere kurs.
Projektilbevegelsesligninger
Likningene for prosjektilbevegelse er de konstante akselerasjonslikningene fra kinematikken, fordi tyngdekraftens akselerasjon er den eneste akselerasjonskilden du må vurdere. De fire hovedligningene du trenger for å løse ethvert prosjektilbevegelsesproblem er:
v = v_0 + ved \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} ved ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Her,vstår for fart,v0 er starthastigheten,ener akselerasjon (som er lik nedadgående akselerasjon avgi alle prosjektilbevegelsesproblemer),ser forskyvningen (fra utgangsposisjonen) og som alltid har du tid,t.
Disse ligningene er teknisk sett bare for en dimensjon, og egentlig kan de representeres av vektormengder (inkludert hastighetv, starthastighetv0 og så videre), men i praksis kan du bare bruke disse versjonene hver for seg, en gang ix-retning og en gang iy-retning (og hvis du noen gang hadde et tredimensjonalt problem, iz-retning også).
Det er viktig å huske at dette er detbrukes bare for konstant akselerasjon, som gjør dem perfekte for å beskrive situasjoner der tyngdekraftens innflytelse er den eneste akselerasjon, men uegnet for mange virkelige situasjoner der ytterligere krefter må være vurdert.
For grunnleggende situasjoner er dette alt du trenger for å beskrive bevegelsen til et objekt, men om nødvendig kan du innlemme annet faktorer, for eksempel høyden prosjektilet ble lansert fra, eller til og med løse dem for det høyeste punktet i prosjektilet sti.
Løse problemer med prosjektilbevegelser
Nå som du har sett de fire versjonene av prosjektilbevegelsesformelen som du må bruke til løse problemer, kan du begynne å tenke på strategien du bruker for å løse en prosjektilbevegelse problem.
Den grunnleggende tilnærmingen er å dele problemet opp i to deler: en for den horisontale bevegelsen og en for den vertikale bevegelsen. Dette kalles teknisk den horisontale komponenten og den vertikale komponenten, og hver har et tilsvarende sett med mengder, slik som horisontal hastighet, vertikal hastighet, horisontal forskyvning, vertikal forskyvning og så videre.
Med denne tilnærmingen kan du bruke kinematikklikningene og merke den tidenter den samme for både horisontale og vertikale komponenter, men ting som utgangshastigheten vil ha forskjellige komponenter for den innledende vertikale hastigheten og den innledende horisontale hastigheten.
Den avgjørende tingen å forstå er at for todimensjonal bevegelse,noenbevegelsesvinkelen kan brytes ned i en horisontal og en vertikal komponent, men når Hvis du gjør dette, vil det være en horisontal versjon av den aktuelle ligningen og en vertikal versjon.
Å neglisjere effekten av luftmotstand forenkler prosjektilbevegelsesproblemer massivt fordi den horisontale retningen aldri har noen akselerasjon i et prosjektilbevegelsesproblem (fritt fall) siden tyngdekraftsinnflytelsen bare virker vertikalt (dvs. mot overflaten av Jord).
Dette betyr at den horisontale hastighetskomponenten bare er en konstant hastighet, og bevegelsen stopper bare når tyngdekraften bringer prosjektilet ned til bakkenivå. Dette kan brukes til å bestemme flytid, fordi det er helt avhengig avy-retningsbevegelse og kan utarbeides helt basert på den vertikale forskyvningen (dvs. tidentnår den vertikale forskyvningen er null, forteller tidspunktet for flyturen).
Trigonometri i prosjektilbevegelsesproblemer
Hvis det aktuelle problemet gir deg en startvinkel og en starthastighet, må du bruke trigonometri for å finne de horisontale og vertikale hastighetskomponentene. Når du har gjort dette, kan du bruke metodene som er beskrevet i forrige avsnitt for å faktisk løse problemet.
I hovedsak lager du en rettvinklet trekant med hypotenusen tilbøyelig til lanseringsvinkelen (θ) og hastighetens størrelse som lengden, og deretter er den tilstøtende siden den horisontale komponenten av hastigheten, og den motsatte siden er den vertikale hastigheten.
Tegn den rettvinklede trekanten som anvist, så ser du at du finner de horisontale og vertikale komponentene ved hjelp av de trigonometriske identitetene:
\ tekst {cos} \; θ = \ frac {\ text {tilstøtende}} {\ text {hypotenuse}}
\ tekst {sin} \; θ = \ frac {\ text {motsatt}} {\ text {hypotenuse}}
Så disse kan ordnes på nytt (og med motsatt =vy og tilstøtende =vx, dvs. den vertikale hastighetskomponenten og de horisontale hastighetskomponentene, og hypotenuse =v0, starthastigheten) for å gi:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Dette er hele trigonometrien du må gjøre for å løse prosjektilbevegelsesproblemer: å koble startvinkelen til ligning, ved å bruke sinus- og cosinusfunksjonene på kalkulatoren din og multiplisere resultatet med starthastigheten til prosjektil.
Så for å gå gjennom et eksempel på å gjøre dette, med en starthastighet på 20 m / s og en lanseringsvinkel på 60 grader, er komponentene:
\ begynn {justert} v_x & = 20 \; \ tekst {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ tekst {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ tekst {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {justert}
Eksempel på prosjektilbevegelsesproblem: Et eksploderende fyrverkeri
Tenk deg at et fyrverkeri har en sikring designet slik at den eksploderer på det høyeste punktet i banen, og den lanseres med en innledende hastighet på 60 m / s i en vinkel på 70 grader mot horisontalen.
Hvordan vil du finne ut hvilken høydehdet eksploderer kl? Og hva ville tiden fra lanseringen være når den eksploderer?
Dette er et av mange problemer som involverer maksimal høyde på et prosjektil, og trikset for å løse disse er å merke seg at i maksimal høydey-komponenten av hastigheten er et øyeblikk 0 m / s. Ved å plugge inn denne verdien forvy og velge det mest hensiktsmessige av de kinematiske ligningene, kan du enkelt takle dette og lignende problemer.
For det første, når vi ser på kinematiske ligninger, hopper denne ut (med abonnement lagt til for å vise at vi jobber i vertikal retning):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Denne ligningen er ideell fordi du allerede kjenner akselerasjonen (eny = -g), starthastigheten og startvinkelen (slik at du kan regne ut den vertikale komponentenvy0). Siden vi ser etter verdien avsy (dvs. høydenh) nårvy = 0, kan vi erstatte null for den endelige vertikale hastighetskomponenten og omorganisere forsy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Siden det er fornuftig å ringe oppovery, og siden akselerasjonen på grunn av tyngdekraftenger rettet nedover (dvs. i -yretning), kan vi endreeny for -g. Til slutt, ringesy høydenh, vi kan skrive:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Så det eneste du trenger å trene for å løse problemet er den vertikale komponenten av starthastigheten, som du kan gjøre ved hjelp av den trigonometriske tilnærmingen fra forrige avsnitt. Så med informasjonen fra spørsmålet (60 m / s og 70 grader til horisontal lansering), gir dette:
\ begin {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
Nå kan du løse maksimal høyde:
\ begin {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {justert}
Så fyrverkeriet vil eksplodere omtrent 162 meter fra bakken.
Fortsetter eksemplet: Flytid og avstand
Etter å ha løst det grunnleggende om prosjektilbevegelsesproblemet utelukkende basert på vertikal bevegelse, kan resten av problemet løses enkelt. Først og fremst kan tiden fra lanseringen at sikringen eksploderer, bli funnet ved å bruke en av de andre konstante akselerasjonsligningene. Ser du på alternativene, følgende uttrykk:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
har tidt, som er det du vil vite; forskyvningen, som du vet for det maksimale punktet for flyturen; den innledende vertikale hastigheten; og hastigheten på tidspunktet for maksimal høyde (som vi vet er null). Så basert på dette, kan ligningen ordnes på nytt for å gi et uttrykk for flytiden:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Så sette inn verdiene og løse fortgir:
\ begin {align} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {justert}
Så fyrverkeriet vil eksplodere 5,75 sekunder etter lansering.
Til slutt kan du enkelt bestemme den horisontale tilbakelagte avstanden basert på den første ligningen, som (i horisontal retning) sier:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Imidlertid å merke seg at det ikke er noen akselerasjon ix-retning, dette er rett og slett:
v_x = v_ {0x}
Betydning at hastigheten ixretning er den samme gjennom hele fyrverkeriets reise. Gitt atv = d/t, hvorder avstanden, det er lett å se detd = vt, og så i dette tilfellet (medsx = d):
s_x = v_ {0x} t
Så du kan erstattev0x med det trigonometriske uttrykket fra tidligere, legg inn verdiene og løs:
\ begynn {justert} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ tekst {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ tekst {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {justert}
Så den vil reise rundt 118 m før eksplosjonen.
Ekstra prosjektilbevegelsesproblem: Dud Firework
For et ekstra problem å jobbe med, forestill deg fyrverkeriet fra forrige eksempel (starthastighet på 60 m / s lansert 70 grader til horisontal) eksploderte ikke på toppen av parabolen, og landet i stedet på bakken ueksplodert. Kan du beregne den totale flytiden i dette tilfellet? Hvor langt borte fra lanseringsstedet i horisontal retning vil det lande, eller med andre ord, hva erområdeav prosjektilet?
Dette problemet fungerer i utgangspunktet på samme måte, der de vertikale komponentene av hastighet og forskyvning er de viktigste tingene du må vurdere for å bestemme tidspunktet for flyturen, og ut fra det kan du bestemme område. I stedet for å jobbe gjennom løsningen i detalj, kan du løse dette selv basert på forrige eksempel.
Det er formler for rekkevidden til et prosjektil, som du kan slå opp eller utlede fra de konstante akselerasjonsligningene, men dette er ikke virkelig nødvendig fordi du allerede vet maksimal høyde på prosjektilet, og fra dette punktet er det bare i fritt fall under virkningen av tyngdekraften.
Dette betyr at du kan bestemme tiden fyrverkeriet tar å falle ned til bakken, og deretter legge dette til flytidspunktet til maksimal høyde for å bestemme den totale flytiden. Fra da er det den samme prosessen med å bruke konstant hastighet i horisontal retning ved siden av flytiden for å bestemme rekkevidden.
Vis at flytiden er 11,5 sekunder, og rekkevidden er 236 m, og legg merke til at du må beregne den vertikale komponenten av hastigheten på det punktet den treffer bakken som et mellomprodukt steg.