ENvektorer en størrelse som har både størrelse og retning knyttet til seg. Dette er annerledes enn enskalarmengde, som bare tilsvarer en størrelse. Hastighet er et eksempel på en vektormengde. Den har både en styrke (hvor raskt noe går) og en retning (retningen den kjører.)
Vektorer blir ofte tegnet som piler. Lengden på pilen tilsvarer størrelsen på vektoren, og pilens punkt indikerer retningen.
Det er to måter å jobbe med vektoraddisjon og subtraksjon på. Den første er grafisk, ved å manipulere pildiagrammene til selve vektorene. Det andre er matematisk, noe som gir eksakte resultater.
Grafisk vektortilsetning og subtraksjon i en dimensjon
Når du legger til to vektorer, plasserer du halen til den andre vektoren på spissen av den første vektoren mens du opprettholder vektororienteringen. Deresulterende vektorer en vektor som begynner på halen til den første vektoren og peker i en rett linje mot tuppen av den andre vektoren.
Vurder for eksempel å legge til vektorerENogBsom peker i samme retning langs en linje. Vi plasserer dem "tip to tail" og den resulterende vektoren,
C, peker i samme retning og har en lengde som er summen av lengdene påENogB.Å trekke vektorer i en dimensjon er egentlig det samme som å legge til, bortsett fra at du "snur" den andre vektoren. Dette skyldes direkte at subtraksjon er det samme som å legge til et negativt.
Matematisk vektoraddisjon og subtraksjon i en dimensjon
Når du arbeider i en dimensjon, kan retning av en vektor angis med tegn. Vi velger en retning for å være den positive retningen (vanligvis "opp" eller "riktig" velges som positiv), og tilordner en hvilken som helst vektor som peker i den retningen som en positiv størrelse. Enhver vektor som peker i negativ retning, er en negativ størrelse. Når du legger til eller trekker fra vektorer, kan du legge til eller trekke størrelsen deres med de aktuelle tegnene.
Anta at i forrige avsnitt, vektorENhadde en styrke på 3 og vektorBhadde en styrke på 5. Deretter resulterende vektorC = A + B =8, en vektor med størrelsesorden 8 som peker i positiv retning, og den resulterende vektorenD = A - B =-2, en vektor med størrelse 2 som peker i negativ retning. Merk at dette stemmer overens med de grafiske resultatene fra før.
Tips: Vær forsiktig med å bare legge til vektorer av samme type: hastighet + hastighet, kraft + kraft og så videre. Som med all matematikk i fysikk, må enhetene matche seg!
Grafisk vektortilsetning og subtraksjon i to dimensjoner
Hvis den første vektoren og den andre vektoren ikke er på samme linje i det kartesiske rommet, kan du bruke den samme "tip to tail" -metoden for å legge til eller trekke dem fra. Hvis du vil legge til to vektorer, kan du bare forestille deg å løfte den andre og plassere halen til toppen av den første mens du holder orienteringen som vist. Den resulterende vektoren er en pil som begynner på halen til den første vektoren og slutter på toppen av den andre vektoren:
Akkurat som i en dimensjon tilsvarer å trekke en vektor fra en annen å snu og legge til. Grafisk ser dette slik ut:
•••Dana Chen | Vitenskap
Merk: Noen ganger vises vektortilsetning grafisk ved å sette halene til de to tilleggsvektorene sammen og lage et parallellogram. Den resulterende vektoren er da diagonalen til dette parallellogrammet.
Matematisk vektoraddisjon og subtraksjon i to dimensjoner
Følg disse trinnene for å legge til og trekke vektorer i to dimensjoner matematisk:
Nedbryt hver vektor i enx-komponent, noen ganger kalt den horisontale komponenten, og eny-komponent, noen ganger kalt den vertikale komponenten, ved hjelp av trigonometri. (Merk at komponentene kan være enten negative eller positive, avhengig av hvilken retning vektoren peker)
Legg tilx-komponenter av begge vektorene sammen, og legg deretter tily-komponenter av begge vektorene sammen. Dette resultatet gir degxogykomponenter i den resulterende vektoren.
Størrelsen på den resulterende vektoren kan bli funnet ved bruk av Pythagoras teorem.
Retningen til den resulterende vektoren kan bli funnet via trigonometri ved hjelp av den inverse tangensfunksjonen. Denne retningen er vanligvis gitt som en vinkel i forhold til det positivex-akser.
Trigonometri i Vector Addition
Husk forholdet mellom sidene og vinklene til en rett trekant fra trigonometri.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ tekst {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ tekst {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pythagoras teorem:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Prosjektilbevegelse gir klassiske eksempler på hvordan vi kan bruke disse relasjonene til både å spalte en vektor og bestemme den endelige størrelsen og retningen til en vektor.
Vurder to personer som spiller fangst. Anta at du får beskjed om at ballen kastes fra en høyde på 1,3 m med en hastighet på 16 m / s i en vinkel på 50 grader med den horisontale. For å begynne å analysere dette problemet, må du nedbryte denne innledende hastighetsvektoren tilxogykomponenter som vist:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ ganger \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ ganger \ sin (50) = 12,3 \ tekst {m / s}
Hvis fangeren savner ballen og den treffer bakken, med hvilken endelige hastighet vil den treffe?
Ved hjelp av kinematiske ligninger er vi i stand til å bestemme at de endelige komponentene i ballens hastighet er:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pythagoras-setningen lar oss finne størrelsen:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Og trigonometri lar oss bestemme vinkelen:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ grader
Eksempel på vektoraddisjon og subtraksjon
Tenk på en bil som avrunder et hjørne. AntavJegfor bilen er ix-retning med styrke 10 m / s, ogvfer i 45 graders vinkel med det positivex-akse med styrke 10 m / s. Hvis denne endringen i bevegelse skjer på tre sekunder, hva er størrelsen og retningen på bilens akselerasjon når den svinger?
Husk den akselerasjonenener en vektormengde definert som:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
HvorvfogvJeger henholdsvis endelige og innledende hastigheter (og er derfor også vektormengder).
For å beregne vektorforskjellenvf - vJeg,vi må først spalte de første og endelige hastighetsvektorene:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
Så trekker vi finalenxogykomponenter fra begynnelsenxogykomponenter for å få komponenter avvf - vJeg:
Så trekker vi fraxogykomponenter:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ tekst {m / s}
Del deretter hver gang for å få komponentene i akselerasjonsvektoren:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Bruk Pythagoras teorem for å finne størrelsen på akselerasjonsvektoren:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
Til slutt, bruk trigonometri for å finne retningen til akselerasjonsvektoren:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ grader