Fysikere sammenligner treghetsmomentene for roterende gjenstander for å bestemme hvilke som vil være vanskeligere å øke eller redusere hastigheten. Dette gjelder situasjoner i den virkelige verden som å finne ut hvilke gjenstander som ruller raskest i et løp.
Faktorene som endrer et objekts treghetsmoment er dens masse, hvordan massen fordeles - bestemt av form og radius - og rotasjonsaksen som den spinner på.
Moment av treghet for vanlige gjenstander
Dette diagrammet viser treghetsmomentligningene for flere vanlige former som roterer rundt forskjellige rotasjonsakser.
Sammenligning av øyeblikk av treghet
Her er noen eksempler på fysikkproblemer som krever bruk av treghetsmomenter for å sammenligne ulike objekter.
1. Hvilket av følgende vil være enklest å begynne å spinne: en 7 kg hul sfære med radius 0,2 m eller en 10 kg fast sfære med samme radius?
Start med å finne treghetsmomentene for hvert objekt. I følge tabellen er ligningen for ahul kuleer:Jeg = 2/3 mr2, og ligningen for asolid kuleerJeg = 2 / 5mr2.
Erstatter de gitte massene og radiene:
Hul kule: I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Fast sfære: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Treghetsmomentet ermindre for den faste kulen, slik blir detlettest å begynne å spinne.
2. På hvilken måte er det vanskeligst å rotere en blyant: omtrent lengden, rundt midten eller enden over enden? Anta at blyanten har en lengde på 10 cm (0,1 m) og en tverrsnittsradius på 3 mm (0,003 m).
I dette tilfellet har massen av blyant ingen betydning i sammenligningen, siden den ikke endres.
For å bestemme hvilke ligninger som gjelder, tilnærmet formen på en blyant som en sylinder.
Deretter er de tre nødvendige treghetsligningene:
Sylinder om lengden(aksen går gjennom hele greia, fra spissen til viskelæret, så radius til rotasjonsaksenerdens tverrsnittsradius):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Sylinder rundt midten(holdes i midten, så rotasjonsradiusen erhalvparten av lengden):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Sylinder rundt enden(holdes av tuppen eller viskelæret, så radius til rotasjonsaksenerdens lengde):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Jo høyere treghetsmoment et objekt er, desto vanskeligere er det å starte (eller stoppe) rotasjonen.Siden hver verdi multipliseres med den sammem, jo større er verdien av brøk multiplisert med r2jo høyere treghetsmoment vil være. I dette tilfellet 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, slik er detvanskeligere å rotere en blyant rundt endenenn rundt de to andre aksene.
3. Hvilket objekt kommer først til bunnen av en rampe hvis de alle har samme masse og radius og alle frigjøres fra toppen samtidig: en bøyle, en sylinder eller en solid kule? Ignorer friksjon.
Nøkkelen til å svare på dette problemet er å bruke forståelse forbevaring av energi. Hvis alle gjenstandene har samme masse og begynner i samme høyde, må de starte med samme mengdegravitasjonspotensiell energi. Dette ertotal energide har tilgjengelig for å konvertere til kinetisk energi og bevege seg nedover rampen.
Fordi objektene vil rulle nedover rampen, må de konvertere den opprinnelige potensielle energien til beggerotasjons- og lineære kinetiske energier.
Her er fangsten: jo mer energi fra den totale kaken det tar objektet tilbegynn å spinne, jo mindre vil det ha tilgjengelig forlineær bevegelse. Det betyrjo lettere det er å få et objekt til å rulle, jo raskere vil det bevege seg lineært nedover rampen og vinne løpet.
Da, fordi alle massene og radiene er like, bare å sammenligne brøkene foran hvert moment av treghetsligning avslører svaret:
Solid kule: Jeg =2/5MR2
Bøyle rundt en akse: Jeg = hr2
Massiv sylinder om lengden: Jeg =1/2MR2
Fra minste til største treghetsmoment, og dermedførst til siste for å nå bunnen: kule, sylinder, bøyle.