Maxwell-Boltzmann-distribusjon: Funksjon, avledning og eksempler

Å beskrive hva som skjer med veldig små partikler er en utfordring i fysikken. Ikke bare er størrelsen vanskelig å jobbe med, men i de fleste daglige applikasjoner har du ikke å gjøre med en eneste partikkel, men utallige mange av dem interagerer med hverandre.

Inne i et fast stoff beveger partiklene seg ikke forbi hverandre, men sitter i stedet ganske mye på plass. Tørrstoffer kan ekspandere og trekke seg sammen med temperaturvariasjoner, og noen ganger til og med gjennomgå interessante forandringer i krystallstrukturer i visse situasjoner.

I væsker kan partikler bevege seg forbi hverandre. Forskere pleier ikke å studere væsker ved å prøve å holde rede på hva hvert enkelt molekyl gjør. I stedet ser de på større egenskaper for helheten, som viskositet, tetthet og trykk.

Akkurat som med væsker, kan partiklene i en gass også bevege seg forbi hverandre. Faktisk kan gasser gjennomgå dramatiske volumendringer på grunn av forskjeller i temperatur og trykk.

Igjen er det ikke fornuftig å studere en gass ved å holde rede på hva hvert enkelt gassmolekyl gjør, selv ikke i termisk likevekt. Det ville ikke være gjennomførbart, spesielt når du tenker på at det er rundt 10 i et tomt drikkeglass

Den typen gass som er enklest å analysere er en ideell gass. Det er ideelt fordi det tillater visse forenklinger som gjør fysikken mye lettere å forstå. Mange gasser ved standard temperaturer og trykk virker omtrent som ideelle gasser, noe som gjør studiet av dem også nyttig.

I en ideell gass antas gassmolekylene i seg selv å kollidere i perfekt elastiske kollisjoner, slik at du ikke trenger å bekymre deg for at energien endrer form som et resultat av slike kollisjoner. Det antas også at molekylene er veldig langt fra hverandre, noe som egentlig betyr du trenger ikke å bekymre deg for at de kjemper mot hverandre for plass og kan behandle dem som poeng partikler. Ideelle gasser er heller ikke for varme og ikke for kalde, så du trenger ikke å bekymre deg for effekter som ionisering eller kvanteeffekter.

Herfra kan gasspartiklene behandles som små punktpartikler som spretter rundt i beholderen. Men selv med denne forenklingen er det fortsatt ikke mulig å forstå gasser ved å spore hva hver enkelt partikkel gjør. Imidlertid tillater det forskere å utvikle matematiske modeller som beskriver sammenhengen mellom makroskopiske størrelser.

Den ideelle gassloven forholder seg til trykk, volum og temperatur til en ideell gass. PressetPav en gass er kraften per arealeenhet den utøver på veggene til beholderen den er i. SI-enheten for trykk er pascal (Pa) hvor 1Pa = 1N / m². VolumetVav gassen er mengden plass det tar i SI-enheter på m³. Og temperaturenTav gassen er et mål på den gjennomsnittlige kinetiske energien per molekyl, målt i SI-enheter av Kelvin.

Ligningen som beskriver den ideelle gassloven kan skrives som følger:

HvorNer antall molekyler eller antall partikler og Boltzmann-konstantenk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

En tilsvarende formulering av denne loven er:

Hvorner antall mol, og den universelle gasskonstantenR= 8,3145 J / molK.

Disse to uttrykkene er ekvivalente. Hvilken du velger å bruke, avhenger ganske enkelt av om du måler molekylantallet ditt i mol eller i antall molekyler.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekyler, som er Avogadros nummer.

Når en gass er tilnærmet som ideell, kan du gjøre en ekstra forenkling. I stedet for å vurdere den nøyaktige fysikken til hvert molekyl - som ville være umulig på grunn av deres store antall - blir de behandlet som om deres bevegelser er tilfeldige. På grunn av dette kan statistikk brukes for å forstå hva som skjer.

På 1800-tallet utviklet fysikerne James Clerk Maxwell og Ludwig Boltzmann den kinetiske teorien om gasser basert på de beskrevne forenklingene.

Klassisk kan hvert molekyl i en gass ha en kinetisk energi tilskrevet den av formen:

Ikke alle molekyler i gassen har imidlertid den samme kinetiske energien fordi de stadig kolliderer. Den eksakte fordelingen av de kinetiske energiene til molekylene er gitt av Maxwell-Boltzmann-fordelingen.

Maxwell-Boltzmann-statistikken beskriver fordelingen av ideelle gassmolekyler over forskjellige energitilstander. Funksjonen som beskriver denne fordelingen er som følger:

HvorENer en normaliseringskonstant,Eer energi,ker Boltzmanns konstant ogTer temperatur.

Ytterligere forutsetninger for å oppnå denne funksjonen er at det på grunn av deres punktpartikkel-natur ikke er noen grense for hvor mange partikler som kan oppta en gitt tilstand. Dessuten tar fordelingen av partikler mellom energitilstander nødvendigvis den mest sannsynlige fordelingen (med større antall partikler, blir oddsen for at gassen ikke er i nærheten av denne fordelingen stadig større liten). Og til slutt er alle energitilstander like sannsynlige.

Denne statistikken fungerer fordi det er ekstremt usannsynlig at en gitt partikkel kan ende opp med en energi som er betydelig over gjennomsnittet. Hvis det gjorde det, ville det etterlatt seg mye færre måter for resten av den totale energien som skulle distribueres. Det koker ned til et tallspill - ettersom det er langt flere energitilstander som ikke har en partikkel langt over gjennomsnittet, er sannsynligheten for at systemet er i en slik tilstand forsvinnende liten.

Imidlertid er energier lavere enn gjennomsnittet mer sannsynlige, igjen på grunn av hvordan sannsynlighetene spiller ut. Siden all bevegelse betraktes som tilfeldig og det er et større antall måter en partikkel kan havne i en lavenergitilstand, er disse tilstandene favorisert.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen er fordelingen av hastighetene på ideelle gasspartikler. Denne hastighetsfordelingsfunksjonen kan hentes fra Maxwell-Boltzmann-statistikken og brukes til å utlede sammenhenger mellom trykk, volum og temperatur.

Fordelingen av hastighetver gitt med følgende formel:

Hvormer massen til et molekyl.

Den tilhørende distribusjonskurven, med hastighetsfordelingsfunksjonen påy-akse og molekylhastighet påx-aks, ser omtrent ut som en asymmetrisk normalkurve med lengre hale til høyre. Den har en toppverdi på den mest sannsynlige hastighetenv_s, og en gjennomsnittshastighet gitt av:

Legg også merke til hvordan den har en lang smal hale. Kurven endres litt ved forskjellige temperaturer, med den lange halen som blir "fetere" ved høyere temperaturer.

Bruk forholdet:

HvorE_inter den indre energien,KE​_​gj.sn.​ er den gjennomsnittlige kinetiske energien per molekyl fra Maxwell-Boltzmann-fordelingen. Sammen med den ideelle gassloven er det mulig å få et forhold mellom trykk og volum når det gjelder molekylær bevegelse: