Vinkelmoment: definisjon, ligning, enheter (med diagrammer og eksempler)

Tenk på scenen: Du og en venn, på grunn av problemer utenfor din kontroll, står på toppen av en lang, skrånende rampe. Hver av dere har fått en ball nøyaktig 1 mi radius. Du har blitt fortalt at din er laget av et jevnt, skumlignende materiale og har en masse på 5 kg. Vennens ball har også en masse på 5 kg, som du bekrefter med en praktisk skala.

Din venn vil satse på at hvis du slipper de to ballene samtidig, vil din først komme til bunns. Du er fristet til å argumentere for at siden kulene har samme masse og samme radius (og dermed volum), vil de bli akselerert av tyngdekraften nedover rampen til samme hastighet gjennom hele nedstigningen. Men noe stopper innsatsen din "momentum", og du tar ikke innsatsen ...

... klokt, som det viser seg. Selv om det ikke gir mening i begynnelsen, beveger vennens ball, etter alt å dømme, en tvilling fra deg, langsommere enn rampen din. Etter at eksperimentet er over, krever du at kulene demonteres og undersøkes for tegn på lureri. I stedet er alt du finner at 5 kg masse i vennens ball var begrenset til et tynt skall rundt utsiden, med det indre hulet.

Hva med den ovenfor beskrevne konfigurasjonen vipper verdien av v i ballens favør? Som det skjer, akkurat somkrefterendrelineær fartav gjenstander medlineær hastighet​, ​dreiemomenterendrevinkelmomentav gjenstander medvinkelhastighet​.

Et stivt rullende objekt har både lineær momentum og vinkelmoment, fordi når massesenteret beveger seg med konstant hastighet v (lik til den tangentielle hastigheten til ballen eller hjulet), roterer hver andre del av objektet rundt det massesenteret med vinkelhastighet ω.

Hvordan masse fordeles i et objekt har ingen betydning for dets lineære momentum, men bestemmer dets vinkelmoment på en utsøkt måte. Det gjør dette gjennom en "masselignende" (for rotasjonsformål) mengde kalt treghetsmoment, høyere verdier av som innebærer både mer vanskeligheter med å få noe til å rotere og mer vanskeligheter med å stoppe det når det allerede er roterende.

Vinkelmoment er et mål på hvor vanskelig det er å endre et objekts rotasjonsbevegelse. Det avhenger av objektets treghetsmoment og vinkelhastigheten. Vinkelmoment er en konservert størrelse, noe som betyr at summen av partikkelenes vinkelmoment i et lukket system alltid er den samme, selv om den for individuelle partikler kan svinge.

Vinkelmoment er som nevnt også en funksjon av massefordelingen rundt en akse. For å få en intuitiv følelse av dette, forestill deg å stå 1 fot fra sentrum av en enorm karusell som gjør en revolusjon hvert 10. sekund. Tenk deg å være på samme konstruksjon med samme vinkelhastighet mens du står 1milfra sentrum. Det tar ikke mye fantasi å tenke på forskjellen i vinkelmoment i disse to scenariene.

​Vinkelmoment er produktet av treghetsmomentet ganger vinkelhastigheten, eller:
​

hvorL= vinkelmoment i kg ∙ m²/s,Jeg= treghetsmoment i kg ∙ m², og ω = vinkelhastighet i radianer per sekund (rad / s).

• ​Jegkalles også det andre øyeblikk av området.

Merk at diskusjonen har utvidet seg fra en punktmasse til en solid kropp, for eksempel en sylinder eller kule, som roterer rundt en akse. Massesenteret til et objekt er ofte ikke på sittgeometrisksentrum, så verdier avJegavhenger av hvordan massen til objektet fordeles. Ofte er dette symmetrisk, men ikke ensartet, for eksempel en hul skive med all sin masse i en tynn stripe på utsiden (med andre ord en ring).

Vinkelmomentvektoren peker langs rotasjonsaksen, vinkelrett på planet dannet avr, den sirkulære "feien" av ethvert punkt i objektet gjennom rommet.

Et referansediagram for verdien avJegfor forskjellige vanlige former finnes i ressursene. Bruk disse for å komme i gang med noen få grunnleggende problemer med vinkelmomentet.

• Noter detJegfor et sfærisk skall er (2/3) mr² mens en kule er (2/5) mr². Når du går tilbake til innsatsen i innledningen, kan du nå se at vennens ball har (2/3) / (2/5) = 1,67 ganger treghetsmomentet som din egen, og forklarer at du vant "løpet".

1. En skive med rotasjonsinertiJegpå 1,5 kg ∙ m²/ s roterer rundt en akse med en vinkelhastighetωpå 8 rad / s. Hva er dens vinkelmomentL​?

2. En tynn stang 15 m lang med en masse på 5 kg - hånden til en massiv klokke, si - roterer rundt et punkt festet i den ene enden med en vinkelhastighetωav 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Hva er dens vinkelmomentL​?

Denne gangen må du slå opp verdien avJeg. For en tynn stang som beveger seg på denne måten,Jeg= (1/3) mr²​.

Sammenlign dette med svaret i det første eksemplet. Overrasker dette deg? Hvorfor eller hvorfor ikke?

“Bevaring” betyr noe litt annerledes i fysikk enn det gjør i økosystemene. Det betyr ganske enkelt at den totale mengden konserverte mengder (energi, momentum, masse og treghet er de "store fire" konserverte størrelsene i fysikk) i et system, inkludert universet, forblir alltid samme. Hvis du prøver å "eliminere" energi, vises den ganske enkelt i en annen form, og ethvert forsøk på å "skape" den er avhengig av en eksisterende kilde.

Loven om bevaring av vinkelmoment sier at i et lukket system kan den totale vinkelmomentet ikke endres. Fordi vinkelmoment avhenger av vinkelhastighet og treghetsmoment, kan man forutsi hvordan en av disse størrelsene da må endres i forhold til hverandre i en gitt situasjon.

• Formelt siden dreiemoment kan uttrykkes somτ= dL/ dt (endringshastigheten hvis vinkelmoment med tiden), når summen av dreiemomentene i et system er null, så dL/ dt må også være null, og det er ingen endring i vinkelmomentet i systemet over tidsrammen systemet vurderes i. Omvendt, hvis L ikke er konstant, innebærer dette en ubalanse i dreiemoment i systemet (dvs.τ_netterikkelik null).

Dette er et viktig konsept i mange mekaniske eksempler fra det daglige. Et klassisk eksempel er skøyteløperen: Når hun hopper i lufta for å gjøre en trippelaksel, trekker hun tett inn i bena. Dette reduserer den totale radiusen hennes rundt rotasjonsaksen, og endrer massefordelingen slik at treghetsmomentet avtar (husk,Jeger proporsjonal med mr²​).

Fordi vinkelmoment er bevart, hvisJegavtar, må vinkelhastigheten hennes øke; dette spinner hun raskt nok til å fullføre flere rotasjoner i luften! Når hun lander, gjør hun det motsatte - hun sprer ut bena og endrer massedistribusjonen for å øke treghetsmomentet, og senker rotasjonshastigheten (vinkelhastighet) i sin tur.

Overalt er systemets vinkelmoment konstant, men variablene som bestemmer størrelsen på vinkelmomentet kan manipuleres og til strategisk effekt, som i dette tilfellet.

Fra og med 1600-tallet begynte Isaac Newton å revolusjonere matematisk fysikk effektivt. Etter å ha funnet opp kalkulator var han godt posisjonert for å komme med formelle påstander om de antagelig universelle lovene styrer bevegelsen til objekter, både translasjonelt (lineært og gjennom rommet) og rotasjonsmessig (syklisk og ca. en akse).

• De forskjelligebevaringsloversom får rikelig omtale senere, er ikke Newtons hjernebarn, men det er betydelige forhold mellom disse og bevegelseslovene.

​Newtons første lovsier at et objekt i ro eller beveger seg med konstant hastighet vil forbli i denne tilstanden med mindre en ytre kraft virker på objektet. Dette kalles ogsåtreghetsloven.​

​Newtons andre lovhevder at en nettokraftF_nettvirker på en partikkel med massem, vil det ha en tendens til å endre hastigheten på, eller akselerere, den massen. Dette berømte forholdet uttrykkes matematisk somF_nett= men​.

​Newtons tredje lovsier at for hver kraft som eksisterer i naturen, eksisterer det en kraft som er lik i størrelse, men som peker i nøyaktig motsatt retning. Denne loven har viktige implikasjoner for bevarte bevegelsesegenskaper, inkludert vinkelmoment.

Nå er det et utmerket tidspunkt å gjennomgå naturen, reglene og forholdet mellommakt​, ​momentum(masse ganger hastighet) ogenergi, som ikke bare informerer om diskusjoner om vinkelmoment, men alt annet innen klassisk fysikk.

Som nevnt, med mindre et objekt opplever en ytre kraft (eller i tilfelle av en roterende gjenstand, eksternt dreiemoment), fortsetter dens bevegelse upåvirket. På jorden er imidlertid tyngdekraften nesten alltid i blandingen, i likhet med de mindre bidragsyterne luftmotstand og forskjellige typer friksjon krefter, så ingenting bare fortsetter å bevege seg med mindre det av og til blir gitt energi til å erstatte det som "tas" av disse kroniske "bevegelsene tyver. "

For å forenkle har en partikkel entotal energibestående avindre energi(f.eks. vibrasjon av molekylene) ogmekanisk energi. Mekanisk energi er slå summen avpotensiell energi(PE; "lagret" energi, vanligvis via tyngdekraften) ogkinetisk energi(KE; bevegelsesenergi). Nyttig, PE + KE + IE = en konstant for alle systemer, det være seg en punktmasse (enkelt partikkel) eller en rekke hviskende, samspillende masser.

Når du hører begreper relatert til bevegelse, som hastighet, akselerasjon, forskyvning og momentum, antar du sannsynligvis som standard at konteksten er lineær bevegelse. Rotasjonsbevegelse har faktisk sine egne unike, men analoge størrelser.

Mens lineær forskyvning måles i meter (m) i SI-enheter, måles vinkelforskyvning i radianer (2π rad = 360 grader). Tilsvarende,vinkelhastighetmåles i rad / s og representeres avω, det greske bokstaven omega.

Imidlertid, når en punktmasse beveger seg rundt rotasjonsaksen, i tillegg til vinkelhastighet, sporer partikkelen en sirkulær bane med en gitt hastighet, i likhet med lineær bevegelse. Denne hastigheten ertangentiell hastighet​ ​v_t​​,og er lik rω,hvorrer radius, eller avstand fra rotasjonsaksen.

I slekt,vinkelakselerasjon​ ​α(Gresk alfa) er hastigheten på endring av vinkelhastighetenωog måles i rad / s². Det er også ensentripetal akselerasjon​ ​en_cgitt avv_t²/r,som er rettet innover mot rotasjonsaksen.

• Mens diskusjon om vinkelmoment, er motstykket til mvi lineære termer, vil bli gitt grundig diskusjon snart, vet at en av komponentene,Jeg, kan betraktes som en rotasjonsanalog av masse.

Vinkelmoment, som kraft, forskyvning, hastighet og akselerasjon, er avektor mengde, fordi slike variabler inkluderer både aomfanget(dvs. et tall) og aretning, ofte gitt termer for de individuelle x-, y- og z-komponentene. Mengder som bare inneholder et numerisk element, som masse, tid, energi og arbeid, er kjent somskalære mengder​.