Kinematikk er en matematisk gren av fysikken som bruker ligninger for å beskrive bevegelsen til objekter (spesielt deresbaner) uten å referere til krefter.
Det vil si at du ganske enkelt kan koble inn forskjellige tall til settet med fire kinematiske ligninger for å finne ukjente disse ligningene uten behov for kunnskap om fysikken bak den bevegelsen, og bare stole på algebraen din ferdigheter.
Tenk på "kinematikk" som en kombinasjon av "kinetikk" og "matematikk" - med andre ord, matematikken i bevegelse.
Rotasjonskinematikk er akkurat dette, men den omhandler spesifikt objekter som beveger seg i sirkulære baner i stedet for horisontalt eller vertikalt. Som objekter i verden av translasjonsbevegelse, kan disse roterende objektene beskrives i form av forskyvning, hastighet og akselerasjon over tid, selv om noen av variablene nødvendigvis endres for å imøtekomme de grunnleggende forskjellene mellom lineær og vinkel bevegelse.
Det er faktisk veldig nyttig å lære det grunnleggende om lineær bevegelse og rotasjonsbevegelse samtidig, eller i det minste bli introdusert for relevante variabler og ligninger. Dette er ikke for å overvelde deg, men er i stedet ment å understreke parallellene.
Det er selvfølgelig viktig å huske når du lærer om disse "typer" bevegelse i rommet at oversettelse og rotasjon langt fra er eksklusivt. Faktisk viser de fleste bevegelige objekter i den virkelige verden en kombinasjon av begge typer bevegelse, hvor en av dem ofte ikke er tydelig ved første øyekast.
Eksempler på lineær og prosjektilbevegelse
Fordi "hastighet" vanligvis betyr "lineær hastighet" og "akselerasjon" innebærer "lineær akselerasjon" med mindre annet er spesifisert, er det hensiktsmessig å gjennomgå noen få enkle eksempler på grunnleggende bevegelse.
Lineær bevegelse betyr bokstavelig talt bevegelse begrenset til en enkelt linje, ofte tildelt variabelen “x”. Prosjektilbevegelsesproblemer involverer både x- og y-dimensjoner, og tyngdekraften er den eneste ytre kraften (merk at disse problemene blir beskrevet i en tredimensjonal verden, f.eks. "En kanonkule fyres... ”).
Legg merke til at massemgår ikke inn i kinematikklikninger av noe slag, fordi tyngdekraftens effekt på bevegelsen til objekter er uavhengig av masse, og mengder som momentum, treghet og energi er ikke en del av noen ligninger av bevegelse.
En rask merknad om radianer og grader
Fordi rotasjonsbevegelse innebærer å studere sirkulære baner (i ikke-uniform så vel som uniform sirkulær bevegelse) i stedet for å bruke meter for å beskrive forskyvningen av et objekt, bruker du radianer eller grader i stedet.
Radianen er på overflaten en vanskelig enhet, oversatt til 57,3 grader. Men en tur rundt en sirkel (360 grader) er definert som 2π radianer, og av grunner du er i ferd med å se, viser dette seg å være praktisk når du løser problemer i noen tilfeller.
- Forholdetπ rad = 180 graderkan brukes til å enkelt konvertere mellom begge måleenhetene.
Det kan være problemer som inkluderer antall omdreininger per tidsenhet (rpm eller rps). Husk at hver revolusjon er 2π radianer eller 360 grader.
Rotasjonskinematikk vs. Translasjonelle kinematikkmålinger
Translasjonskinetiske målinger, eller enheter, har alle rotasjonsanaloger. For eksempel, i stedet for lineær hastighet, som for eksempel beskriver hvor langt en ball ruller i en rett linje over et gitt tidsintervall, er ballenroterendeellervinkelhastighetbeskriver rotasjonshastigheten til den ballen (hvor mye den roterer i radianer eller grader per sekund).
Det viktigste å huske på her er at hver translasjonsenhet har en rotasjonsanalog. Det tar litt øvelse å lære å matematisk og konseptuelt relatere de "partnerskapene", men for det meste handler det om enkel erstatning.
Lineær hastighetvspesifiserer både størrelsen og retningen på en partikkels oversettelse; vinkelhastighetω(den greske bokstaven omega) representerer singularhastigheten, som er hvor raskt objektet roterer i radianer per sekund. Tilsvarende endringshastigheten påω, vinkelakselerasjonen, er gitt avα(alfa) i rad / s2.
Verdiene avωogαer de samme for ethvert punkt på en solid gjenstand enten de måles 0,1 m fra rotasjonsaksen eller 1000 meter unna, fordi det er bare hvor rask vinkelenθendringer som betyr noe.
Det er imidlertid tangentielle (og dermed lineære) hastigheter og akselerasjoner til stede i de fleste situasjoner der rotasjonsstørrelser sees. Tangensielle størrelser beregnes ved å multiplisere vinkelmengdene medr, avstanden fra rotasjonsaksen:vt = ωrogαt = αr.
Rotasjonskinematikk vs. Translasjonelle kinematikklikninger
Nå som måleanalogiene mellom rotasjons- og lineær bevegelse er blitt kvadrert bort ved bruk av innføringen av nye vinkeltermer, kan disse brukes til å omskrive fire klassiske translasjonskinematikklikninger når det gjelder rotasjonskinematikk, bare med noe forskjellige variabler (bokstavene i ligninger representerer ukjent mengder).
Det er fire grunnleggende ligninger så vel som fire grunnleggende variabler i spill i kinematikk: posisjon (x, yellerθ), hastighet (vellerω), akselerasjon (enellerα) og tidt. Hvilken ligning du velger, avhenger av hvilke mengder som er ukjente å starte.
- [sett inn en tabell med lineære / translasjonelle kinematikklikninger justert med deres rotasjonsanaloger]
Si for eksempel at du blir fortalt at en maskinarm feide gjennom en vinkelforskyvning på 3π / 4 radianer med en innledende vinkelhastighetω0på 0 rad / s og en endelig vinkelhastighetωav π rad / s. Hvor lang tid tok denne bevegelsen?
\ theta = \ theta_0 + \ frac {1} {2} (\ omega_0 + \ omega) t \ innebærer \ frac {3 \ pi} {4} = 0 + \ frac {\ pi} {2} t \ innebærer t = 1.5 \ tekst {s}
Mens hver translasjonsligning har en rotasjonsanalog, er det motsatte ikke helt sant på grunn av sentripetal akselerasjon, som er en konsekvens av den tangentielle hastighetenvtog peker mot rotasjonsaksen. Selv om det ikke er noen endring i hastigheten til en partikkel som kretser rundt et massesenter, representerer dette akselerasjon fordi retningen til hastighetsvektoren alltid er i endring.
Eksempler på roterende kinematikkmatematikk
1. En tynn stang, klassifisert som en stiv kropp med en lengde på 3 m, roterer rundt en akse rundt den ene enden. Den akselererer jevnt fra hvile til 3π rad / s2 over en periode på 10 s.
a) Hva er gjennomsnittlig vinkelhastighet og vinkelakselerasjon i løpet av denne tiden?
Som med lineær hastighet er det bare å dele (ω0+ ω) med 2 for å få gjennomsnittlig vinkelhastighet: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π s-1.
- Radianer er en dimensjonsfri enhet, så i kinematikklikninger uttrykkes vinkelhastigheten som s-1.
Gjennomsnittlig akselerasjon er gitt avω=ω0+ αt, ellerα= (3π s-1/ 10 s) =0,3π s-2.
b) Hvor mange fullstendige omdreininger gjør stangen?
Siden gjennomsnittshastigheten er 1,5π s-1 og stangen spinner i 10 sekunder, den beveger seg gjennom totalt 15π radianer. Siden en revolusjon er 2π radianer, betyr dette (15π / 2π) = 7,5 omdreininger (syv komplette revolusjoner) i dette problemet.
c) Hva er tangensialhastigheten til enden av stangen på tidspunktet t = 10 s?
Sidenvt = ωr, ogωpå tidspunktet t = 10 er 3π s-1, vt= (3π s-1) (3 m) =9π m / s.
Treghetens øyeblikk
Jeger definert som treghetsmomentet (også kaltandre øyeblikk av området) i rotasjonsbevegelse, og det er analogt med masse for beregningsformål. Det ser dermed ut hvor masse vil dukke opp i en verden av lineær bevegelse, kanskje viktigst ved beregning av vinkelmomentL. Dette er produktet avJegogω,og er en vektor med samme retning somω.
Jeg = hr2 for en punktpartikkel, men ellers avhenger det av formen på objektet som roterer så vel som rotasjonsaksen. Se ressursene for en praktisk liste over verdier avJegfor vanlige former.
Masse er forskjellig fordi mengden i rotasjonskinematikk som den relaterer seg til, treghetsmoment, faktiskinneholdermasse som en komponent.