Beregning av banen til en kule fungerer som en nyttig introduksjon til noen sentrale begreper innen klassisk fysikk, men det har også mye omfang å inkludere mer komplekse faktorer. På det mest grunnleggende nivået fungerer banen til en kule akkurat som banen til ethvert annet prosjektil. Nøkkelen er å skille komponentene i hastigheten i aksene (x) og (y) og bruke konstant akselerasjon på grunn av tyngdekraften for å finne ut hvor langt kulen kan fly før den treffer bakken. Du kan imidlertid også innlemme dra og andre faktorer hvis du vil ha et mer presist svar.
Ignorer vindmotstand for å beregne avstanden en kule har tatt med den enkle formelen:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Hvor (v0x) er starthastigheten, (h) er høyden den er avfyrt fra og (g) er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften.
Denne formelen inneholder drag:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Her er (C) kuleens dragskoeffisient, (ρ) er lufttettheten, (A) er kuleområdet, (t) er tidspunktet for flyging og (m) er kulens masse.
Bakgrunnen: (x) og (y) Komponenter av hastighet
Hovedpoenget du må forstå når du beregner baner, er at hastigheter, krefter eller en hvilken som helst annen "vektor" (som har en retning så vel som en styrke) kan være delt inn i "komponenter". Hvis noe beveger seg i en 45-graders vinkel mot det horisontale, så tenk på det som å bevege seg horisontalt med en viss hastighet og vertikalt med en viss hastighet. Å kombinere disse to hastighetene og ta hensyn til deres forskjellige retninger gir deg hastigheten på objektet, inkludert både hastighet og retning som resulterer.
Bruk cos og sin-funksjonene til å skille krefter eller hastigheter inn i komponentene. Hvis noe beveger seg med en hastighet på 10 meter per sekund i en 30-graders vinkel mot det horisontale, er hastigheten x-komponenten:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8.66 \ text {m / s}
Hvor (v) er hastigheten (dvs. 10 meter per sekund), og du kan plassere en hvilken som helst vinkel i stedet for (θ) som passer ditt problem. Komponenten (y) er gitt av et lignende uttrykk:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ tekst {m / s}) \ sin {30} = 5 \ tekst {m / s}
Disse to komponentene utgjør den opprinnelige hastigheten.
Grunnleggende baner med konstant akselerasjonsligninger
Nøkkelen til de fleste problemer med baner er at prosjektilet slutter å bevege seg fremover når det treffer gulvet. Hvis kulen blir avfyrt fra 1 meter i luften, når akselerasjonen på grunn av tyngdekraften tar den ned 1 meter, kan den ikke bevege seg lenger. Dette betyr at y-komponenten er det viktigste å vurdere.
Ligningen for y-komponentforskyvningen er:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
"0" abonnementet betyr starthastigheten i (y) retning, (t) betyr tid og (g) betyr akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, som er 9,8 m / s2. Vi kan forenkle dette hvis kulen avfyres perfekt horisontalt, slik at den ikke har hastighet i (y) retning. Dette etterlater:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
I denne ligningen betyr (y) forskyvningen fra startposisjonen, og vi vil vite hvor lang tid det tar kulen å falle fra starthøyden (h). Med andre ord, vi vil ha
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Som du ordner om for å:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Dette er tidspunktet for flyging for kulen. Dens fremre hastighet bestemmer avstanden den går, og dette er gitt av:
x = v_ {0x} t
Hvor hastigheten er hastigheten den lar pistolen være på. Dette ignorerer effekten av drag for å forenkle matematikken. Ved å bruke ligningen for (t) som ble funnet for et øyeblikk siden, er den tilbakelagte avstanden:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
For en kule som skyter på 400 m / s og blir skutt fra 1 meter høy, gir dette:
x = (400 \ text {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ text {m})} {9.8 \ text {m / s} ^ 2}} = 180,8 \ text {m}
Så kulen beveger seg rundt 181 meter før den treffer bakken.
Inkluderer Drag
For å få et mer realistisk svar, bygg drag i ligningene ovenfor. Dette kompliserer ting litt, men du kan beregne det enkelt nok hvis du finner de nødvendige biter av informasjon om kulen din og temperaturen og trykket der den blir avfyrt. Ligningen for kraften som skyldes drag er:
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Her (C) representerer kuleens dragkoeffisient (du kan finne ut for en bestemt kule, eller bruke C = 0,295 som en generell figur), ρ er lufttettheten (ca. 1,2 kg / kubikkmeter ved normalt trykk og temperatur), (A) er tverrsnittsarealet til en kule (du kan beregne dette for en bestemt kule eller bare bruke A = 4,8 × 10−5 m2, verdien for en .308 kaliber) og (v) er kulehastigheten. Til slutt bruker du massen av kulen til å gjøre denne kraften til en akselerasjon som skal brukes i ligningen, som kan tas som m = 0,016 kg med mindre du har en spesifikk kule i tankene.
Dette gir et mer komplisert uttrykk for tilbakelagt avstand i (x) retning:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Dette er komplisert fordi teknisk reduserer drag hastigheten, noe som igjen reduserer drag, men du kan forenkle ting ved bare å beregne dra basert på den opprinnelige hastigheten på 400 m / s. Ved å bruke en flytid på 0,452 s (som før) gir dette:
x = (400 \ text {m / s}) (0.452 \ text {s}) - \ frac {(0.295) (1.2 \ text {kg / m} ^ 3) (4.8 \ times10 ^ {- 5} \ text {m} ^ 2) (400 \ text {m / s}) ^ 2 (0,452 \ text { s}) ^ 2} {2 (0.016 \ text {kg})} \\ = 180.8 \ text {m} - \ frac {0.555 \ text {kgm}} {0.032 \ text {kg}} \\ = 180.8 \ tekst {m} -17.3 \ text {m} \\ = 163.5 \ text { m}
Så tilføringen av luftmotstand endrer estimatet med omtrent 17 meter.