Kinematikklikningene beskriver bevegelsen til et objekt som gjennomgår konstant akselerasjon. Disse ligningene relaterer variablene tid, posisjon, hastighet og akselerasjon av et objekt i bevegelse, slik at noen av disse variablene kan løses for hvis de andre er kjent.
Nedenfor er en skildring av et objekt som gjennomgår konstant akselerasjonsbevegelse i en dimensjon. Variabelen t er for tid, stilling er x, hastighet v og akselerasjon en. Abonnementene Jeg og f stå for henholdsvis "initial" og "final". Det antas at t = 0 kl xJeg og vJeg.
(Sett inn bilde 1)
Kinematisk ligningsliste
Det er tre primære kinematiske ligninger listet opp nedenfor som gjelder når du arbeider i en dimensjon. Disse ligningene er:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Merknader om kinematiske ligninger
- Disse ligningene fungerer bare med en konstant akselerasjon (som kan være null når det gjelder konstant hastighet).
- Avhengig av hvilken kilde du leser, kan det hende at de endelige mengdene ikke har abonnement f, og / eller kan være representert i funksjonsnotasjon som x (t) - les “x som en funksjon av tid ”eller“x på tidspunktet t”- og v (t). Noter det x (t) betyr ikke x ganget med t!
-
Noen ganger mengden xf - xJeg er skrevet
Δx, som betyr "endringen i x, ”Eller ganske enkelt som d, som betyr forskyvning. Alle er likeverdige. Posisjon, hastighet og akselerasjon er vektorstørrelser, noe som betyr at de har retning knyttet til seg. I en dimensjon er retning typisk indikert med tegn - positive størrelser er i positiv retning og negative størrelser er i negativ retning. Abonnementer: "0" kan brukes til startposisjon og hastighet i stedet for Jeg. Denne "0" betyr "kl t = 0, "og x0 og v0 blir vanligvis uttalt "x-ingenting" og "v-naughty." * Bare en av ligningene inkluderer ikke tid. Når du skriver ut gaver og bestemmer hvilken ligning du skal bruke, er dette nøkkelen!
En spesiell sak: Fritt fall
Fritt fallbevegelse er bevegelsen til et objekt som akselererer på grunn av tyngdekraften alene i fravær av luftmotstand. De samme kinematiske ligningene gjelder; imidlertid er akselerasjonsverdien nær jordoverflaten kjent. Størrelsen på denne akselerasjonen er ofte representert med ghvor g = 9,8 m / s2. Retningen på denne akselerasjonen er nedover, mot jordoverflaten. (Merk at noen kilder kan være omtrentlige g som 10 m / s2, og andre kan bruke en verdi som er nøyaktig med mer enn to desimaler.)
Problemløsningsstrategi for kinematikkproblemer i en dimensjon:
Tegn et diagram over situasjonen og velg et passende koordinatsystem. (Husk det x, v og en er alle vektormengder, så ved å tildele en klar positiv retning vil det være lettere å holde oversikt over tegn.)
Skriv en liste over kjente mengder. (Vær oppmerksom på at noen ganger er kunnskapene ikke åpenbare. Se etter setninger som "starter fra hvile", som betyr det vJeg = 0, eller "treffer bakken", noe som betyr det xf = 0, og så videre.)
Bestem hvilken mengde spørsmålet du vil finne. Hva er det ukjente du vil løse for?
Velg riktig kinematisk ligning. Dette vil være ligningen som inneholder den ukjente mengden sammen med kjente mengder.
Løs ligningen for den ukjente mengden, koble deretter til kjente verdier og beregne det endelige svaret. (Vær forsiktig med enheter! Noen ganger må du konvertere enheter før du beregner.)
Endimensjonale kinematikkeksempler
Eksempel 1: En annonse hevder at en sportsbil kan gå fra 0 til 60 km / t på 2,7 sekunder. Hva er akselerasjonen til denne bilen i m / s2? Hvor langt går den i løpet av disse 2,7 sekundene?
Løsning:
(Sett inn bilde 2)
Kjente og ukjente mengder:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Den første delen av spørsmålet krever løsning av den ukjente akselerasjonen. Her kan vi bruke ligning nr. 1:
v_f = v_i + at \ innebærer a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Før vi kobler inn tall, må vi imidlertid konvertere 60 mph til m / s:
60 \ avbryt {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ avbryt {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ tekst {m / s}
Så akselerasjonen er da:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ understrek {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
For å finne hvor langt det går på den tiden, kan vi bruke ligning 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ understreket {\ bold {36.2} \ text {m}}
Eksempel 2: En ball kastes opp med en hastighet på 15 m / s fra en høyde på 1,5 m. Hvor fort går det når det treffer bakken? Hvor lang tid tar det å treffe bakken?
Løsning:
(Sett inn bilde 3)
Kjente og ukjente mengder:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
For å løse den første delen kan vi bruke ligning 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ innebærer v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Alt er allerede i konsistente enheter, så vi kan plugge inn verdier:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Det er to løsninger her. Hvilken er riktig? Fra diagrammet vårt kan vi se at den endelige hastigheten skal være negativ. Så svaret er:
v_f = \ understrek {\ bold {-16} \ text {m / s}}
For å løse tiden kan vi bruke enten ligning 1 eller ligning 2. Siden ligning # 1 er enklere å jobbe med, vil vi bruke den:
v_f = v_i + at \ innebærer t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ understreket {\ bold {3.2} \ text {s }}
Merk at svaret på første del av dette spørsmålet ikke var 0 m / s. Selv om det er sant at etter at ballen har landet, vil den ha 0 hastighet, men dette spørsmålet vil vite hvor fort det går i løpet av det delte sekundet før støt. Når ballen har kommet i kontakt med bakken, gjelder ikke våre kinematiske ligninger lenger fordi akselerasjon ikke vil være konstant.
Kinematiske ligninger for prosjektilbevegelse (to dimensjoner)
Et prosjektil er et objekt som beveger seg i to dimensjoner under påvirkning av jordens tyngdekraft. Banen er en parabel fordi den eneste akselerasjonen skyldes tyngdekraften. De kinematiske ligningene for prosjektilbevegelse har en litt annen form enn de kinematiske ligningene som er oppført ovenfor. Vi bruker det faktum at bevegelseskomponenter som er vinkelrette på hverandre - for eksempel det horisontale x retning og vertikal y retning - er uavhengige.
Problemløsningsstrategi for kinematikkproblemer med prosjektilbevegelser:
Tegn et diagram over situasjonen. Akkurat som med endimensjonal bevegelse, er det nyttig å tegne scenariet og indikere koordinatsystemet. I stedet for å bruke etikettene x, v og en for posisjon, hastighet og akselerasjon trenger vi en måte å merke bevegelsen i hver dimensjon separat.
For horisontal retning er det vanligst å bruke x for stilling og vx for x-komponenten av hastighet (merk at akselerasjonen er 0 i denne retningen, så vi trenger ikke en variabel for den.) I y retning, er det mest vanlig å bruke y for stilling og vy for hastigheten y-komponent. Akselerasjon kan enten merkes eny eller vi kan bruke det faktum at vi vet at akselerasjonen på grunn av tyngdekraften er g i negativ y-retning, og bare bruk det i stedet.
Skriv en liste over kjente og ukjente størrelser ved å dele problemet opp i to seksjoner: vertikal og horisontal bevegelse. Bruk trigonometri til å finne x- og y-komponentene til alle vektormengder som ikke ligger langs en akse. Det kan være nyttig å liste opp dette i to kolonner:
(sett inn tabell 1)
Merk: Hvis hastigheten er gitt som en størrelse sammen med en vinkel, Ѳ, over den horisontale, bruk deretter vektordekomponering, vx= vcos (Ѳ) og vy= vsin (Ѳ).
Vi kan vurdere våre tre kinematiske ligninger fra før og tilpasse dem til henholdsvis x- og y-retningen.
X retning:
x_f = x_i + v_xt
Y-retning:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Merk at akselerasjonen i y retning er -g hvis vi antar at opp er positiv. En vanlig misforståelse er at g = -9,8 m / s2, men dette er feil; g i seg selv er ganske enkelt akselerasjonens størrelse: g = 9,8 m / s2, så vi må spesifisere at akselerasjonen er negativ.
Løs for en ukjent i en av disse dimensjonene, og koble deretter til det som er vanlig i begge retninger. Mens bevegelsen i de to dimensjonene er uavhengig, skjer den på samme tidsskala, så tidsvariabelen er den samme i begge dimensjoner. (Tiden det tar ballen å gjennomgå den vertikale bevegelsen er den samme som tiden det tar å gjennomgå den horisontale bevegelsen.)
Eksempler på kinematikk fra prosjektilbevegelse
Eksempel 1: Et prosjektil blir lansert horisontalt fra en klippe med en høyde på 20 m med en innledende hastighet på 50 m / s. Hvor lang tid tar det å treffe bakken? Hvor langt fra bunnen av klippen lander den?
(sett inn bilde 4)
Kjente og ukjente mengder:
(sett inn tabell 2)
Vi kan finne tiden det tar å slå bakken ved å bruke den andre vertikale bevegelsesligningen:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ innebærer t = \ sqrt {\ frac {(2 \ ganger 20)} g} = \ understreket {\ bold {2.02} \ text {s} }
Så for å finne hvor den lander, xf, kan vi bruke den liggende ligningen:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ understrek {\ bold {101} \ text {s}}
Eksempel 2: En kule lanseres 100 m / s fra bakkenivå i en vinkel på 30 grader med horisontalplanet. Hvor lander den? Når er hastigheten den minste? Hva er plasseringen på dette tidspunktet?
(sett inn bilde 5)
Kjente og ukjente mengder:
Først må vi dele hastighetsvektoren inn i komponenter:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ ca 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ tekst {m / s}
Mengdetabellen vår er da:
(sett inn tabell 3)
Først må vi finne tiden ballen er i flukt. Vi kan gjøre dette med den andre vertikale ligningen_. Merk at vi bruker parabolens symmetri for å bestemme at den endelige _y hastighet er negativ av initialen:
Så bestemmer vi hvor langt den beveger seg i x retning i denne tiden:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ ganger 10.2 \ ca \ understreket {\ fet {883} \ tekst m}
Ved hjelp av symmetrien til den parabolske banen kan vi bestemme at hastigheten er minste ved 5.1 s, når prosjektilet er på toppen av bevegelsen og den vertikale hastighetskomponenten er 0. X- og y-komponentene til bevegelsen på dette tidspunktet er:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ ganger 5.1 \ ca \ understreket {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ approx \ understreke {\ bold {128} \ text {m}}
Kinematiske ligninger Derivasjon
Ligning nr. 1: Hvis akselerasjonen er konstant, så:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Å løse hastigheten har vi:
v_f = v_i + kl
Ligning nr. 2: Gjennomsnittlig hastighet kan skrives på to måter:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Hvis vi bytter ut _vf _med uttrykket fra ligning # 1 får vi:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Løs for xf gir:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ved ^ 2
Ligning 3: Start med å løse for t i ligning nr. 1
v_f = v_i + at \ innebærer t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Koble dette uttrykket til for t i gjennomsnittlig hastighetsforhold:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ innebærer \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i) )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Omorganisering av dette uttrykket gir:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)