Heb je je ooit afgevraagd hoeveel water of koffie er in een van die schijnbaar ontelbare plastic wegwerpbekers past, het soort dat aan de basis smaller is dan aan de bovenkant? Met andere woorden, bijna elke papieren, plastic of andere wegwerpbeker die je ooit hebt gezien of gebruikt? (Om eerlijk te zijn, sommige kopjes hebben geen schuine zijkanten en zijn dus cilindrisch, maar dit lijkt alleen van toepassing te zijn op permanent kopjes.)
Het hierboven beschreven type vorm is gebaseerd op a ijshoorntje, wat het resultaat is van een lijn die door de ruimte veegt en een gebogen pad volgt, zoals een cirkel (in het eenvoudigste geval) of een ellips. Een kopje is meestal niet puntig (sommige met bevroren lekkernijen zijn dat wel), maar het is nog steeds een "stuk" van een kegel, geometrisch gesproken. Dat maakt het gemakkelijk, met geduld, om het volume te vinden.
Het volume van een kegel
De formule voor het volume van een regelmatige of rechtse kegel (dat wil zeggen, een met een cirkelvormige basis) is
V=\frac{1}{3}πr^2h
Waar r is de straal van de basis en h is de hoogte van de kegel. Omdat een rechte kegel er vanaf de zijkant uitziet als twee rechthoekige driehoeken die bij elkaar zijn geplaatst, is de lengte zo van de schuine zijde van de kegel heeft dezelfde waarde als de hypotenusa van een van deze driehoeken. Het wordt dus gegeven door de stelling van Pythagoras toe te passen: r2 + h2 = s2, dus
s=\sqrt{r^2 + h^2}
Het volume van een taps toelopende beker: deel één
Stel dat je een kopje hebt van 8 centimeter (cm) breed aan de basis, 10 cm breed aan de bovenkant en 15 cm hoog. Hoeveel vloeistof kan het bevatten in cm3, ook wel milliliter (ml) genoemd?
Een manier om dit probleem aan te pakken is door een dwarsdoorsnede van de beker te tekenen, dat wil zeggen, hoe het er vanaf de zijkant uitziet nadat het precies in tweeën is gesneden, loodrecht op uw gezichtsveld. Als u verticale lijnen naar boven trekt vanaf de twee punten waar de basis de zijkanten raakt, naar de bovenkant van de beker, je hebt nu de doorsnede gesplitst in twee gelijke, gereflecteerde rechthoekige driehoeken en a rechthoek. De driehoeken hebben lange "poten" van 15 cm en korte "poten" van 1 cm (die het verschil tussen de basisbreedte en de bovenbreedte verdelen).
Het volume van een taps toelopende beker: deel twee
Merk op wat er gebeurt als je de zijkanten van de beker in je diagram uitbreidt tot een punt onder de basis. Verleng ook een lijn omhoog vanaf het midden van de top naar het punt waar deze lijnen samenkomen. (Je hebt misschien geen ruimte om de zijkanten samen te laten komen en een gesloten driehoek te vormen, maar kom zo dichtbij als je kunt,)
Door het principe van gelijkvormige driehoeken weet je dat de verhouding van het lange been van de driehoeken van bovenaf (15 cm) tot dat van het kleine been (1 cm) of 15 op 1, moet hetzelfde zijn als de verhouding van het kleine been tot het lange been van een van de nieuw gecreëerde driehoeken tussen de basis van de "cup" en de punt. Aangezien het kleine been een waarde heeft van 4 cm, moet het lange been 15 keer dit zijn, ofwel 60 cm.
Je hebt nu dus te maken met de doorsnede van een kegel met een totale hoogte van 15 + 60 = 75 cm en een breedte van 10 cm, dus een straal van 5 cm. Het volume van deze kegel minus het volume van de kegel die zich uitstrekt tot aan de voet van de beker, die een hoogte heeft van 60 cm en een breedte van 8 cm (r = 4 cm) geeft het gewenste resultaat:
\begin{uitgelijnd} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963.5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005.3 \text { ml} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958,2 \text{ ml} \end{uitgelijnd}
Uw kopje bevat dus zeer dicht bij 1 L (1.000 ml) vloeistof.
Kegel- en bekervolumecalculator
Zie de bronnen voor een lijst met rekenmachines met kegels die verschillende initiële combinaties van informatie hebben gekregen. Als alternatief kunt u een benadering zoals hierboven gebruiken en de beker in verschillende vormen splitsen en vervolgens gebruiken eenvoudiger formules (zoals de formule voor het volume van een kubus) in geschikte combinaties om het totaal te vinden volume.